[論文レビュー] On Kropina Change of m-th Root Finsler Metrics

Akbar Tayebi, T. Tabatabaeifar+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$m$-乗根Fインスラー計量のクロピナ変換について、局所的に双対的に平坦であるか、射影的に平坦であるための必要十分条件を導出する。Kropina変換された$m$-乗根計量が局所的に双対的に平坦であるための必要十分条件は、計量と1形式$\beta$を含む特定のテンソル方程式が満たされることであり、また、局所的に射影的に平坦であるための必要十分条件は、それが局所的にミンコフスキー的であることであると示している。

ABSTRACT

In this paper, we consider Kropina change of $m$-th root Finsler metrics. We find necessary and sufficient condition under which the Kropina change of an $m$-th root Finsler metric be locally dually flat. Then we prove that the Kropina change of an $m$-th root Finsler metric is locally projectively flat if and only if it is locally Minkowskian.

研究の動機と目的

• $m$-乗根Fインスラー計量のクロピナ変換が局所的に双対的に平坦となるための必要十分条件を同定すること。
• このようなクロピナ変換が局所的に射影的に平坦であるための条件を調査すること。
• この計量クラスに関して、射影的平坦性の特徴づけをミンコフスキー的性質の観点から行うこと。
• リーマン幾何学およびFインスラー幾何学の結果を、クロピナ変換下での特定の$m$-乗根Fインスラー計量クラスへと拡張すること。

提案手法

• クロピナ変換を$\bar{F} = F^2 / \beta$として定義する。ここで$F = A^{1/m}$であり、$\beta = b_i(x)y^i$である。
• 局所的双対的平坦性の定義を用いる：$(F^2)_{x^k y^l} y^k = 2(F^2)_{x^l}$。この条件を$\bar{F}^2 = A^{4/m} / \beta^2$に適用する。
• $\bar{F}^2$の$x^k$および$y^l$に関する二階偏微分を計算し、双対的平坦性条件に代入する。
• 補題2.1を適用して、$y^i$に関する多項式恒等式が恒等的に消える必要があることを導出し、テンソル方程式の系を得る。
• Aの既約性と次数の考察を用いて、$A_0 = \theta A$を満たす1形式$\theta$の存在を導く。
• 射影的平坦性のためには、測地線係数条件$G^i = P y^i$を用い、$A_{0l} - A_{x^l} = \frac{m-2}{m} A_0 A_l / A$という条件を導出し、これにより$A_0 = 2m A \theta$が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$m$-乗根Fインスラー計量のクロピナ変換が局所的に双対的に平坦となるか？
• RQ2 $m$-乗根計量のクロピナ変換の文脈において、局所的射影的平坦性はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 このような計量に関して、射影的平坦性とミンコフスキー的性質の間に構造的同値性が存在するか？
• RQ4 元の$m$-乗根計量および1形式$\beta$の幾何的性質は、クロピナ変換された計量の平坦性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 計量$F = A^{1/m}$のクロピナ変換$\bar{F} = F^2 / \beta$が局所的に双対的に平坦であるための必要十分条件は、$\beta_{0l}$、$\beta_{x^l}$、$A_{x^l}$および1形式$\theta$を含む方程式(6)、(7)、(8)の系が成立することである。
• 既約性および次数の制約から$A_0 = \theta A$が導かれる。これは、$A$の繊維方向への微分が特定の構造を持つことを示している。
• クロピナ変換が局所的に射影的に平坦であるための必要十分条件は、それが局所的にミンコフスキー的であることである。これは、ベルワルド計量条件およびNumataの定理を用いて示されている。
• $n \geq 3$のとき、フラグ曲率がゼロである任意の射影的に平坦なベルワルド計量は、局所的にミンコフスキー的である。このため、クロピナ変換された計量もミンコフスキー的でなければならない。
• 導出は多項式恒等式の議論（補題2.1）に依拠しており、$y^i$に関する係数が消えることで、すべての項が消えることが保証される。
• 射影的平坦性条件から$A_0 = 2m A \theta$が得られ、これは計量がベルワルド的であることを示し、Numataの定理により曲率がゼロであればミンコフスキー的である。