[논문 리뷰] On large deviation probabilities for empirical distribution of branching random walks: Schr{ö}der case and B{ö}ttcher case

Xinxin Chen, Hui He|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 12.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 슈뢰더 및 보트러 케이스에서 초임계 분열 랜덤 워크의 경험 분포에 대한 대규모 편차 확률을 조사한다. 대칭성과 유한 분산 조건 하에서 스텝 크기의 꼬리 행동(웨이불 또는 구불)을 분석함으로써, 정규화된 경험 측도가 표준 정규 근사에서 벗어나는 확률에 대한 정밀한 점근적 감쇠률을 도출하며, 라플라스 방법과 모멘트 생성 함수 분석을 통해 날카운 대규모 편차 원리를 확립한다.

ABSTRACT

Given a super-critical branching random walk on $\mathbb{R}$ started from the origin, let $Z\_n(\cdot)$ be the counting measure which counts the number of individuals at the $n$-th generation located in a given set. Under some mild conditions, it is known in \cite{B90} that for any interval $A\subset \mathbb{R}$, $\frac{Z\_n(\sqrt{n}A)}{Z\_n(\mathbb{R})}$ converges a.s. to $ν(A)$, where $ν$ is the standard Gaussian measure. In this work, we investigate the convergence rates of $$\mathbb{P}\left(\frac{Z\_n(\sqrt{n}A)}{Z\_n(\mathbb{R})}-ν(A)>Δ ight),$$ for $Δ\in (0, 1-ν(A))$, in both Schr{ö}der case and B{ö}ttcher case.

연구 동기 및 목표

• 분열 랜덤 워크의 경험 분포가 대규모 편차 영역에서 정규 근사로 수렴하는 속도를 이해하는 것.
• 정규화된 경험 측도가 정규 측도에서 고정된 편차를 초과할 확률에 대한 정밀한 점근적 감쇠률을 도출하는 것.
• 일반적인 꼬리 조건 하에서 스텝 크기 분포에 대해, 기존 결과를 확장하여 슈뢰더 케이스(p1 > 0)와 보트러 케이스(p0 = p1 = 0)를 분석하는 것.
• 두 케이스에서 경험 측도에 대한 대규모 편차 원리를 확립하는 것—특히 스텝 크기가 웨이불 또는 구불 꼬리 행동을 보일 경우.

제안 방법

• 분석은 분열 과정의 모멘트 생성 함수에 라플라스 방법을 적용함으로써 이루어지며, 번식과 이동의 독립성을 활용한다.
• 저자들은 총 인구 수에 조건화하기 위해 측도 전환 기법을 사용하여 문제를 i.i.d. 랜덤 변수 합의 대규모 편차로 환원한다.
• 핵심 추정은 누적모멘트 생성 함수 $\Lambda(\theta)$와 그 볼록 쌍대 함수 $I_A(p)$를 통해 도출되며, 이는 편차의 속도 함수를 특징짓는다.
• 웨이불 꼬리의 경우, 지수 모멘트를 통한 꼬리 확률의 경계와 $x^\alpha$에 대한 볼록성 논증을 적용한다.
• 구불 꼬리의 경우, 이중 지수 꼬리 추정과 로그 기반 점근적 분석을 사용하여 대규모 편차 확률의 감쇠를 제어한다.
• 증명은 $L_{k+1} = \alpha(\Lambda(\theta) - \Lambda(L_k))$로 정의된 재귀 수열 $L_k$를 활용하며, 이 수열은 $\theta$로 수렴하여 라플라스 방법의 타당성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈뢰더 케이스에서 대규모 편차 확률 $\mathbb{P}\left(\bar{Z}_n(\sqrt{n}\sigma^2 A) - \nu(A) \geq \Delta\right)$의 정밀한 감쇠률은 무엇인가?
• RQ2 스텝 크기의 꼬리 행동(웨이불 또는 구불)이 보트러 케이스에서 대규모 편차 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 일반적인 모멘트 및 꼬리 조건(유계가 아닌 스텝 크기 포함) 하에서 경험 측도에 대한 대규모 편차 원리를 확립할 수 있는가?
• RQ4 누적모멘트 생성 함수 $\Lambda(\theta)$는 경험 측도의 편차 속도 함수를 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 스텝 크기가 웨이불 꼬리일 경우 $\mathbb{P}(X \geq x) = \Theta(1)e^{-\lambda x^\alpha}$이면, 대규모 편차 확률은 $\lambda a^\alpha$에 의해 제어되는 감쇠률을 가지며, $\limsup_{n\to\infty} \frac{t_n^{\alpha-1}}{n^{\alpha/2}} \log \mathbb{P}(\sum_{i=1}^{t_n} X_i \geq a\sqrt{n}) \leq -\lambda a^\alpha$이다.
• 스텝 크기가 구불 꼬리일 경우 $\mathbb{P}(X \geq x) = \Theta(1)e^{-e^{x^\alpha}}$이면, 로그 확률의 감쇠률은 $\liminf_{n\to\infty} \frac{t_n^\alpha}{n^{\alpha/2}} \log[-\log \mathbb{P}(\sum_{i=1}^{t_n} X_i \geq a\sqrt{n})] \geq a^\alpha$를 만족한다.
• 경험 측도 $\bar{Z}_n(\sqrt{n}\sigma^2 A)$가 정규 측도 $\nu(A)$로 수렴하는 속도는 누적모멘트 생성 함수 $\Lambda(\theta)$로부터 도출된 속도 함수 $I_A(p)$를 갖는 대규모 편차 원리로 특징지어진다.
• 재귀 수열 $L_k$는 $L_{k+1} = \alpha(\Lambda(\theta) - \Lambda(L_k))$로 정의되며, 이 수열은 $\theta$로 수렴하여 점근적 분석에서 라플라스 방법의 타당성을 보장한다.
• 결과는 $X$가 대칭이며 $\mathbb{E}[X^2] = 1$이며, 어떤 $\theta > 0$에 대해 $\mathbb{E}[e^{\theta Z_1(\mathbb{R})}] < \infty$라는 조건 하에서 성립하며, 이는 지수 모멘트의 존재를 보장한다.