[論文レビュー] On level and collision sets of some Feller processes

Victoria Knopova, René L. Schilling|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間変換過程とポテンシャル論的技法を用いて、遷移密度推定を持つFeller過程のクラスに対して、レベル集合および衝突集合のハウスドルフ次元の上界と下界を確立する。Lévy過程からの結果を、Kato級条件と記号に基づく解析を導入することでFeller過程へと拡張し、1次元においてゼロレベル集合の次元が衝突集合の次元と等しく、両者とも過程のスケーリング指数によって決定されることを証明する。

ABSTRACT

This paper is about lower and upper bounds for the Hausdorff dimension of the level and collision sets of a class of Feller processes. Our approach is motivated by analogous results for Lévy processes by Hawkes (for level sets), Taylor and Jain & Pruitt (for collision sets). Since Feller processes lack independent or stationary increments, the methods developed for Lévy processes cannot be used in a straightforward manner. Under the assumption that the Feller process possesses a transition probability density, which admits lower and upper bounds of a certain type, we derive sufficient conditions for regularity and non-polarity of points; together with suitable time changes this allows us to get upper and lower bounds for the Hausdorff dimension.

研究の動機と目的

• 遷移密度の境界が与えられたFeller過程における点の正則性および非極性の十分条件を導出すること。
• 独立または定常増分を持たないFeller過程へのLévy過程からの次元結果の拡張。
• 時間変換過程を用いて$d$-集合のレベル集合のハウスドルフ次元に対する一様な上界と下界を確立すること。
• 1次元における2つの独立なFeller過程の衝突集合のハウスドルフ次元を分析すること。
• 1次元の再帰的Feller過程におけるゼロレベル集合および衝突集合の正確な次元を特徴づけること。

提案手法

• 独立かつ増加するLévy過程による時間変換を用いて、元のFeller過程とスケーリング性質が既知の時間変換過程との関係を確立する。
• 遷移密度に関するKato級条件を用いて、正則点および極点を特徴づける。
• 安定的補助過程および合成核型密度境界を含む積分推定を用いて、ポテンシャル測度の上界と下界を導出する。
• 対称的$\beta$-安定過程の値域をガウジとして用い、衝突集合のハウスドルフ次元を表現する。
• 集合$D$に近い時間変換過程の挙動を特徴づけるために、指数$\gamma_{\inf}$および$\gamma_{\sup}$を用いる。
• 優越収束定理およびガンマ積分の恒等式を用いて、$T \to 0$における積分の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移密度の境界が与えられたFeller過程において、Borel集合$D$に対して点が正則である条件は何か？
• RQ2 独立増分を持たないFeller過程において、レベル集合のハウスドルフ次元をどのように境界づけられるか？
• RQ3 1次元Feller過程におけるゼロレベル集合の正確なハウスドルフ次元は何か？
• RQ4 2つの独立な過程のコピー$X^1$および$X^2$のゼロレベル集合と衝突集合の次元の関係は何か？
• RQ5 結合過程$(X^1, X^2)$の極集合を対称的安定過程のそれと比較することで、衝突集合の次元をどのように境界づけられるか？

主な発見

• 1次元の再帰的Feller過程において、ゼロレベル集合$\{s: X_s = 0\}$のハウスドルフ次元は$\gamma_{\inf}/\gamma_{\sup}$に等しく、ここで$\gamma_{\inf}$および$\gamma_{\sup}$は過程のスケーリング指数である。
• 衝突集合$A(\omega) = \{x: X^1_t = X^2_t = x \text{ for some } t > 0\}$のハウスドルフ次元も$\gamma_{\inf}/\gamma_{\sup}$に等しく、ゼロレベル集合の次元と一致する。
• 遷移密度$p_t(x,y)$に関するKato級条件を用いて、非極性および正則性の十分条件が導出される。
• 時間変換過程と安定的補助過程を含む積分推定を用いて、$d$-集合のレベル集合のハウスドルフ次元に対する一様な上界と下界が確立される。
• Kato級仮定の下で、ポテンシャル測度$\int_0^T \int_D p_t^{(\gamma)}(x,y) \varpi(dy) dt$は、$\varpi\{y \in D: |x-y| \leq u\}$および関数$(q^*)^\gamma(1/u)$を含む項から下限で抑えられる。
• ガンマ積分および優越収束定理を用いた漸近的解析により、特定の積分が$T \to 0$において消えることが示され、正則性および非極性の結果を支持する。