[論文レビュー] On limits of Graphs Sphere Packed in Euclidean Space and Applications

Itaï Benjamini, Nicolas Curien|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元から高次元への円詰め理論の拡張を行い、$ℝ^d$ に均一に選ばれた根を持つ有限グラフの球詰めの極限が $d$-放物的であることを証明する。主な結果は、幾何的等周的二分法を示す：$ℝ^d$ に詰め込まれた無限グラフは、正のチーリング定数を持つか、または $|\partial W| \leq |W|^{\frac{d-1}{d}+o(1)}$ を満たす任意に大きな有限集合 $W$ を含む。これは球詰めと $d$-次元ポテンシャル論の間の関係を示している。

ABSTRACT

The core of this note is the observation that links between circle packings of graphs and potential theory developed in \cite{BeSc01} and \cite{HS} can be extended to higher dimensions. In particular, it is shown that every limit of finite graphs sphere packed in $\R^d$ with a uniformly-chosen root is $d$-parabolic. We then derive few geometric corollaries. E.g.\,every infinite graph packed in $\R^{d}$ has either strictly positive isoperimetric Cheeger constant or admits arbitrarily large finite sets $W$ with boundary size which satisfies $ |\partial W| \leq |W|^{\frac{d-1}{d}+o(1)}$. Some open problems and conjectures are gathered at the end.

研究の動機と目的

• 2次元から高次元（$d \geq 3$）へのグラフの球詰めとポテンシャル論の関係を拡張すること。
• $ℝ^d$ に球詰めされた、有限で均一に根付けられたグラフの極限が $d$-放物的であることを確立すること。
• 特に、無限に詰め込まれたグラフに対する等周的二分法を含む幾何的帰結を導出すること。
• 特に、girth が増大する正則グラフに対して、$ℝ^d$ における $M$-一様詰め込みの障害を特定すること。

提案手法

• 2次元球詰めと $L^2$ ポテンシャル論に関する [4] および [11] の手法を $d$-次元球詰めに適応する。
• ランダムウォークにおける再帰性の高次元版として、$d$-放物性を用いる。
• 高次元詰め込みにおける半径比の制御に、$M$-一様性条件を用いた修正版のリング補題を適用する。
• 有限グラフの弱極限を用いて、無限極限グラフを分析する。
• 極限グラフの $d$-放物性と境界集合の構造を用いて、幾何的帰結を導出する。
• 等周的基準を適用して、$ℝ^{d+1}$ が $ℝ^d$ に詰め込めないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフが $ℝ^d$ に $M$-一様に球詰め可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 $ℝ^d$ に $M$-一様に詰め込める自然なグラフ族を構成できるか？
• RQ3 ヘイゼンベルク群 $\mathbf{H}_3(\mathbb{Z})$ のカイリー図が、$4$-放物的であるにもかかわらず、$ℝ^d$ に球詰め可能か？
• RQ4 同じグラフが、$ℝ^d \cup \{\infty\}$ 内で異なる集積点集合を持つ2つの異なる球詰めを持てるか？
• RQ5 有限で有界次数の $ℝ^d$-詰め込みグラフの混合時間は、$C_d \cdot \text{直径}(G)^2$ 以上か？

主な発見

• $ℝ^d$ に球詰めされた有限で均一に根付けられたグラフのすべての極限は $d$-放物的である。
• $ℝ^d$ に詰め込まれたすべての無限グラフは、正の等周的チーリング定数を持つか、または $|\partial W| \leq |W|^{\frac{d-1}{d}+o(1)}$ を満たす任意に大きな有限集合 $W$ を含む。
• $ℝ^{d+1}$ は、非放物的であるため、任意の $M \geq 0$ に対して $ℝ^d$ に $M$-一様に詰め込めない。
• girth が増大する $k$-正則グラフの系列は、$k > 2$ であれば、任意の固定次元 $d$ に $M$-一様に詰め込めない。なぜなら、その弱極限が $k$-正則木になるからである。
• $ℝ^d$ の放物的指数は $d$ であり、$k$-正則木の放物的指数は無限大である。これは、$ℝ^d$ における $M$-一様詰め込みを妨げる。
• 本稿で導出された等周的基準は、最近、$d \geq 5$ の $ℝ^d$ に鋭角分割が存在しないことを証明するために用いられた。