[論文レビュー] On Liouville type theorems for the steady Navier-Stokes equations in $\Bbb R^3$

Dongho Chae, Joerg Wolf|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^3$ における定常ナビエ＝ストークス方程式に対して、三つの新しいリウヴィル型定理を確立し、解の自明性（$v=0$）を、改善された可積分性条件のもとで証明する。古典的な $L^{9/2}$ 結果を対数的に拡張し、ディリクレ積分のスケーリングと一致するスケーリングを持つヘッドプレッシャーに基づく条件を導入し、渦度と速度から導かれる二重線形カーネルを用いたフビニ型条件を提示する。これらはすべて、無限遠における減衰性および可積分性の仮定の下で成り立つ。

ABSTRACT

In this paper we prove three different Liouville type theorems for the steady Navier-Stokes equations in $\Bbb R^3$. In the first theorem we improve logarithmically the well-known $L^{\frac92} (\Bbb R^3)$ result. In the second theorem we present a sufficient condition for the trivially of the solution($v=0$) in terms of the head pressure, $Q=\frac12 |v|^2 +p$. The imposed integrability condition here has the same scaling property as the Dirichlet integral. In the last theorem we present Fubini type condition, which guarantee $v=0$.

研究の動機と目的

• 定常ナビエ＝ストークス方程式の弱解が、無限遠で速度が消え、ディリクレ積分が有限である場合、すべて自明（$v=0$）であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 既知の $L^{9/2}$ に基づくリウヴィル結果を、可積分性条件に対数補正因子を組み込むことで改善すること。
• ディリクレ積分のスケーリングと一致するスケーリングを持つヘッドプレッシャー $Q = \frac{1}{2}|v|^2 + p$ に基づく新しい条件を導入すること。
• 渦度と速度から導かれる二重線形カーネルを用いたフビニ型条件を確立し、その二重積分が対称であれば解の自明性が保証されることを示すこと。

提案手法

• 可積分性条件の対数的改善を証明し、$\int_{\mathbb{R}^3} |v|^{9/2} \left\{ \log\left(2 + \frac{1}{|v|}\right) \right\}^{-1} dx < \infty$ が成り立てば $v \equiv 0$ であることを示す。
• ヘッドプレッシャー $Q = \frac{1}{2}|v|^2 + p$ を導入し、$|\nabla Q|^2 / |Q|$ に対する重み付き $L^2$ 型不等式を導出し、対数的重みを含む形で、この積分が $\alpha \to 0^+$ の際に十分速く減少するならば $v=0$ であることを示す。
• カーネル $\Phi(x,y) = \frac{1}{4\pi} \frac{\omega(x) \cdot (x-y) \times (v(y) \times \omega(y))}{|x-y|^3}$ を定義し、$\omega \in L^q(\mathbb{R}^3)$ かつ $q \in [3/2, 3)$ の条件下で、両変数における $L^1$ 可積分性が保証されることを証明する。
• 恒等式 $\int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) dy = |\omega(x)|^2 \geq 0$ および $\int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) dx = 0$ を用い、$\Phi$ の二重積分が対称であれば $\omega \equiv 0$ であることを示し、これにより $v \equiv 0$ が導かれる。
• リースの積分作用素の推定とホルダーの不等式を用いて、カーネルの成長を制御し、渦度に関する与えられた $L^q$ 偽定下で可積分性が保証されることを確認する。
• カルデロン＝ジミンの不等式およびソボレフ埋め込みを活用し、$v$ と $\omega$ の関係を結びつけ、関連するレベーグ空間における $v$ と $\omega$ の必要な可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な $L^{9/2}$ 条件において、被積分関数に対数補正因子を組み込むことで、定常ナビエ＝ストークス解の自明性に関する条件を改善できるか。
• RQ2 ヘッドプレッシャー $Q = \frac{1}{2}|v|^2 + p$ を用いた可積分性条件に、対数的重みを導入した場合、ディリクレ積分のスケーリングと一致する十分条件が得られるか。
• RQ3 渦度と速度を含む二重線形カーネルに関するフビニ型条件が、定常ナビエ＝ストークス方程式の唯一の解が自明であることを保証できるか。
• RQ4 渦度と速度から導かれるカーネルの二重積分の対称性を含む条件は、$v \in L^2$ を仮定しないまま $v=0$ を示すことができるか。
• RQ5 $\omega \in L^q(\mathbb{R}^3)$ かつ $q \in [3/2, 3)$ の場合に、$v$ が $L^2$ に属さなくても $v=0$ を保証できるか。

主な発見

• 定理 1.1 は、$\int_{\mathbb{R}^3} |v|^{9/2} \left\{ \log\left(2 + \frac{1}{|v|}\right) \right\}^{-1} dx < \infty$ ならば解は自明である、すなわち $v \equiv 0$ であることを確立する。
• 定理 1.2 は、重み付き積分 $\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|\nabla Q|^2}{|Q|} \left( \log \frac{eM}{|Q|} \right)^{-\alpha-1} dx$ が $\alpha \to 0^+$ の際に $1/\alpha$ より速く減少するならば $v \equiv 0$ であることを示し、$Q$ はヘッドプレッシャーを表す。
• 定理 1.3 は、$\omega \in L^q(\mathbb{R}^3)$ かつ $q \in [3/2, 3)$ のとき、カーネル $\Phi(x,y)$ の二重積分が対称であれば $v \equiv 0$ であることを証明する。$v \in L^2$ を仮定しないでも成立する。
• 本稿は、$\omega$ に関する提示された $L^q$ 条件のもとで、カーネル $\Phi(x,y)$ が両変数において絶対可積分であることを示し、フビニ型の議論の有効性を保証する。
• $\int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) \, dx \, dy = \int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \Phi(x,y) \, dy \, dx$ という条件は $\omega \equiv 0$ を意味し、したがって $v \equiv 0$ を示す。これは $L^2$ に依存しない新しい自明性の基準を提供する。
• 解析により、積分 $\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|\nabla Q|^2}{|Q|} dx$ がディリクレ積分 $\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla v|^2 dx$ と同じスケーリングを持つことが示され、ヘッドプレッシャー条件がエネルギーに基づく手法と自然に整合することがわかる。