[論文レビュー] On Local Super-Penalization of Interior Penalty Discontinuous Galerkin Methods

Andrea Cangiani, John Chapman+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は理論的および数値的に、内部ペナルティパラメータが無限大に近づく際、非線形および時間依存設定においても、非連続ガラーキン（dG）法が連続ガラーキン（cG）法に収束することを示している。また、局所的スーパーペナルティを導入し、自由度を削減しながら安定性を損なわないハイブリッド連続-非連続ガラーキン法を可能にした。この手法は、適応メッシュ・リメッシュと数値実験を通じて、対流拡散問題および可混和移動問題において検証された。

ABSTRACT

We prove in an abstract setting that standard (continuous) Galerkin finite element approximations are the limit of interior penalty discontinuous Galerkin approximations as the penalty parameter tends to infinity. We apply this result to equations of non-negative characteristic form and the non-linear, time dependent system of incompressible miscible displacement. Moreover, we investigate varying the penalty parameter on only a subset of a triangulation and the effects of local super-penalization on the stability of the method, resulting in a partly continuous, partly discontinuous method in the limit. An iterative automatic procedure is also proposed for the determination of the continuous region of the domain without loss of stability of the method.

研究の動機と目的

• 内部ペナルティdG法がペナルティパラメータが無限大に近づく際、cG法に収束する一般理論的枠組みを確立すること。
• 特定の要素または面にのみ高いペナルティを適用する「局所的スーパーペナルティ」の効果を調査し、ハイブリッド連続-非連続ガラーキン（cdG）法を構築すること。
• 解の精度を損なわずに、安定な連続領域を自動的に特定する反復的かつ自動的な手順を開発・検証すること。
• 境界層や鋭いフロントを示す対流優勢かつ非線形時間依存問題において、cdG法の安定性と精度を評価すること。
• dG法の自由度を、局所的に連続な要素を用いることで削減しつつ、dG法の安定性と精度を維持すること。

提案手法

• インフラ・サブ条件とエネルギー推定に基づく抽象的枠組みを用い、無限大に近づくペナルティにおけるdGからcGへの収束を理論的に証明する。
• 非負の特性形式を有する方程式および非線形不圧縮性可混和移動系にこの枠組みを適用し、混合ラヴィアル・トーマス-dG型の弱形式を用いる。
• メッシュの一部の面でのみペナルティパラメータを変化させることで、局所的スーパーペナルティを導入し、ハイブリッドcdG法を構築する。
• 濃度場の要素界面を越えるジャンプの大きさに基づき、連続的近似が可能な要素を自動的に特定・マークする反復アルゴリズムを提案する。
• 面を越える解のジャンプの$L^2$ノルムに許容誤差を設定し、連続領域に含める要素をフラグとしてマークする。
• 時間経過に伴い、$L^2$ノルム差と自由度の数を用いて、cdG近似と完全なdGおよびcG解を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形および時間依存問題に対しても、内部ペナルティdG法はペナルティパラメータが無限大に近づくと標準cG法に収束するか？
• RQ2 特定の要素面にのみ高いペナルティを適用する「局所的スーパーペナルティ」は、安定的かつ高精度なハイブリッド連続-非連続ガラーキン法を構築できるか？
• RQ3 局所的に連続な要素を用いることで、自由度をどの程度まで削減できるか。その際、数値的振動を生じさせず、精度を損なわないか？
• RQ4 解の安定性を損なわず、反復的かつ自動的な手順で安定な連続領域を領域内に特定できるか？
• RQ5 cdGとdG近似の間の誤差は時間経過とともにどのように変化するか。自由度削減と精度のトレードオフはどのようなものか？

主な発見

• ペナルティパラメータが無限大に近づく際、dG法がcG法に収束することが確認された。これは、非線形および時間依存問題に一般に適用可能な抽象的理論枠組みに基づく理論的収束を裏付けるものである。
• 局所的スーパーペナルティにより、自由度を削減しながらもdG法に近い精度を維持する安定なハイブリッドcdG法の構築が可能となった。
• 非圧縮性可混和移動問題において、自動マーク手順の許容誤差を$10^{-5}$に設定したところ、自由度はdG法の74.6%にまで削減され、dG法との$L^2(L^2)$ノルム誤差は$1.0455 \times 10^{-4}$にとどまった。
• $L^2(L^2)$ノルムにおけるcdGとdG近似の差は、$\mathtt{tol} = 10^{-3}$のとき$1.2073 \times 10^{-2}$から、$\mathtt{tol} = 10^{-5}$のとき$1.0455 \times 10^{-4}$に減少し、より厳密なマークにより精度が向上したことが示された。
• 数値結果から、$\mathtt{tol} = 10^{-4}$および$10^{-3}$ではdG法とcdG法の間に目立った差が認められなかったが、完全なcG解は境界層で顕著な振動を示した。
• 連続領域を特定する反復的手順は、連続メッシュの再初期化を複数回行った後でも安定性と精度を維持しており、誤差は低く保たれた。