[論文レビュー] On maximal tori in the contactomorphism groups of regular contact manifolds

Eugene Lerman|ArXiv.org|Dec 3, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpactで単連結かつ整数シンプレクティック形式を持つシンプレクティック多様体 $B$ のハミルトニアン最大トーラスの、正則接触多様体 $P$ における中心的 $S^1$-拡張写像による前像が、接触多様体の接触同相群 $
\mathrm{Diff}(P,\xi)$ においても、かつ厳密接触同相群 $
\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ においても最大トーラスであることを確立している。主な貢献は、シンプレクティックな設定から接触的な設定へ最大トーラスを上げる構成であり、接触同相群に異なる次元の最大トーラスをもつ接触多様体の新しい例を可能にしている。

ABSTRACT

By a theorem of Banyaga the group of diffeomorphisms of a manifold $P$ preserving a regular contact form $α$ is a central $S^1$ extension of the commutator of the group of symplectomorphisms of the base $B = P/S^1$. We show that if $T$ is a Hamiltonian maximal torus in the group of symplectomorphism of $B$, then its preimage under the extension map is a maximal torus not only in the group $\Diff(P, α)$ of diffeomorphisms of $P$ preserving $α$ but also in the much bigger group of contactomorphisms $\Diff (P, ξ)$, the group of diffeomorphism of $P$ preserving the contact distribution $ξ= \ker α$. We use this (and the work of Hausmann, and Tolman on polygon spaces) to give examples of contact manifolds $(P, ξ= \ker α)$ with maximal tori of different dimensions in their group of contactomorphisms.

研究の動機と目的

• 正則接触多様体 $P$ の接触同相群 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ における最大トーラスの構造を理解すること。
• 基底 $B$ のシンプレクティック同相群と $P$ の接触同相群における最大トーラスとの間の対応を確立すること。
• $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ は $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ よりも厳密に大きいにもかかわらず、$\mathrm{Diff}(B,\omega)$ の最大トーラスが $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ の最大トーラスに引き上げられることを示すこと。
• この対応を用いて、接触同相群に異なる次元の最大トーラスをもつ接触多様体を構成すること。

提案手法

• Banyagaの定理を用い、$\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ が $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ の中心的 $S^1$-拡張であることを活用する。
• 多様体 $B$ におけるトーラス $T$ のハミルトニアン作用とそのモーメント写像 $\Phi$ を用い、公式 $X_P = X_B^h - \pi^*\Phi^X \cdot R$ を用いて作用を $P$ に持ち上げ、接続1形式 $\alpha$ を保存するようにする。
• 固定点 $b_0 \in B^T$ に対して $\Phi(b_0) = 0$ とすることでモーメント写像を正規化し、持ち上げられた作用が $P$ 上の $T$-作用に下降することを保証する。
• Cartanの公式と条件 $L_{X_P}\alpha = f\alpha$ を用いて、$P$ 上の $S^1$-作用を含む任意のトーラス $H \subset \mathrm{Diff}(P,\xi)$ が $\alpha$ を保存する必要があり、したがって $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ に属することを証明する。
• Hausmann–KnutsonおよびHausmann–Tolmanによる多角形空間の例にこの持ち上げ結果を適用し、接触同相群に異なる次元の最大トーラスをもつ接触多様体を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底シンプレクティック多様体のシンプレクティック同相群における最大トーラスは、関連する正則接触多様体の接触同相群に持ち上げられるか？
• RQ2 写像 $\tau: \mathrm{Diff}(P,\alpha) \to \mathrm{Diff}(B,\omega)$ による $\mathrm{Diff}(B,\omega)$ の最大トーラスの前像が、より大きな群 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ においても最大トーラスであるか？
• RQ3 接触同相群に異なる次元の最大トーラスをもつ接触多様体は存在するか？
• RQ4 多様体 $B$ 上のトーラス作用が、接触形式 $\alpha$ を保存するように $P$ 上のトーラス作用に持ち上げられるための条件は何か？

主な発見

• 写像 $\tau: \mathrm{Diff}(P,\alpha) \to \mathrm{Diff}(B,\omega)$ による $T \subset \mathrm{Diff}(B,\omega)$ の最大トーラスの前像 $T'$ は、$\mathrm{Diff}(P,\xi)$ においても最大トーラスである。
• $P$ 上の $S^1$-作用を含む任意のトーラス $H \subset \mathrm{Diff}(P,\xi)$ は接触形式 $\alpha$ を保存する必要があり、したがって $\mathrm{Diff}(P,\alpha)$ に属する。
• 整数シンプレクティック形式 $\omega$ をもつ五角形空間 $\mathbb{C}P^2 \# 3\overline{\mathbb{C}P}^2$ に対して、対応する接触多様体 $P$ は $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ に次元3の最大トーラスをもつ。
• 七角形空間 $\mathrm{Pol}(1,1,2,2,3,3,3)$ に対して、接触同相群 $\mathrm{Diff}(P,\xi)$ には次元3, 4, 5の最大トーラスが含まれる。
• この構成により、接触同相群に異なる次元の最大トーラスをもつ接触多様体の明示的例が得られ、このようなトーラスの多様性についての疑問が解決された。