[論文レビュー] On mean values of Dirichlet series

Ilgar Sh. Jabbarov|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、複素係数をもつ新しいディリクレ級数のクラスを導入し、その級数の任意の自然数乗が、ある半平面上で明確に定義された平均値を持つことを定義する。もし級数とその逆級数が両方ともこのクラスに属するならば、平均値の半平面はゼロを含まないことが証明され、リーマンゼータ関数を含む広範なL関数のクラスにまで拡張された平均値理論と、リンデレフ予想の類似形が確立される。

ABSTRACT

In this paper we study the mean values and zeroes of Dirichlet series of a view $\sum_{n}a_n n^{-s}$ with complex coefficients. There was introduced some class of Dirichlet series including such widely used series as the Riemann zeta-function, Dirichlet L-functions and ets. A new point of view is introduced in defining of a half plane of mean values. It was proven that in the half plane of mean values any natural degree of the series of an inroduced class, being regular in this half plane,has a mean value. In particular, the analog of Lindelof Hypothesis is true. If, in addition, the Dirichlet series f(s) belongs to this class with the function f(s)^{-1} then the half plane of mean values was proved to be free from the zeroes.

研究の動機と目的

• リーマンゼータ関数やディリクレL関数を含む重要なL関数を一般化する新しいディリクレ級数のクラスを定義すること。
• これらの級数に対して「平均値の半平面」という新しい概念を導入すること。
• このクラスに属する級数のすべての自然数乗が、その平均値の半平面上で平均値が存在することを確立すること。
• 級数f(s)とその逆級数f(s)⁻¹が両方ともこのクラスに属する場合、平均値の半平面がゼロを含まないことを証明すること。

提案手法

• 論文は、リーマンゼータ関数やディリクレL関数を含む複素係数をもつディリクレ級数∑aₙn⁻ˢのクラスを定義する。
• 級数およびそのべきの平均値が存在する半平面を特定するための新しい基準を導入する。
• 絶対収束の半平面およびその外における正則性と収束性の性質に依拠した分析を行う。
• 特に平均値の存在とゼロの分布に注目し、複素解析的手法を用いて級数およびそのべきの挙動を研究する。
• 平均値の半平面内でゼロを含まないためには、逆級数f(s)⁻¹が同じ半平面で正則であることが必要である。
• 平均値の存在とゼロの不在の証明には、部分和の推定と級数の積分表現が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数乗のディリクレ級数が半平面上で平均値をもつための条件は何であるか？
• RQ2 広範なディリクレ級数のクラスに対して、一般化された平均値の半平面をどのように定義できるか？
• RQ3 平均値の半平面がゼロを含まないための条件は何か？
• RQ4 この枠組みは、L関数に対するリンデレフ予想をどの程度一般化するか？
• RQ5 このクラスに属するディリクレ級数の逆級数が、同じ半平面で正則である可能性は何か。その結果は何か？

主な発見

• 導入されたクラスに属するディリクレ級数の任意の自然数乗は、その平均値の半平面上で明確に定義された平均値を持つ。
• このクラスのすべての級数に対して、リンデレフ予想の類似形が成り立ち、平均値における成長条件が確認される。
• 級数f(s)とその逆級数f(s)⁻¹が両方ともこのクラスに属する場合、平均値の半平面にはゼロが存在しない。
• 平均値の半平面は、べき乗および逆数をとる操作に対して不変であり、逆数が正則である場合に限る。
• このクラスはリーマンゼータ関数およびディリクレL関数を含み、広範な適用可能性を示す。
• ゼロの不在に関する結果は、臨界帯域に限らず、平均値の半平面全体に拡張される。