[論文レビュー] On metric of classical channel spaces: non-asymptotic theory

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Quantum Mechanics and Applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、チャネルの連結および恒等チャネルとのテンソル積における不変性を課えることで、古典的チャネル空間における単調計量の非漸近的・内積に基づかない理論を提示する。最大および最小のこのような「計量」を同定し、そのいずれも内積から生じないことを示すことにより、これらの公理を満たす単調計量が真の計量にはなり得ないことを証明し、量子および古典的情報幾何学における基礎的仮定に疑問を呈する。

ABSTRACT

The aim of the manuscript is to characterize monotone `metric' in the space of Markov map. Here, `metric' means the square of the norm defined on the tangent space, and not necessarily induced from an inner product (this property hereafter will be called inner-product-assumption), different from usual metric used in differential geometry. As for metrics in So far, there have been plenty of literatures on the metric in the space of probability distributions and quantum states. Among them, Cencov proved the monotone metric in probability distribution space is unique up to constant multiple, and identical to Fisher information metric. Petz characterized all the monotone metrics in the quantum state space using operator mean. As for channels, however, only a little had been known. In this paper, we impose monotonicity by concatenation of channels before and after the given channel families, and invariance by tensoring identity channels. (Notably, we do not use the inner-product-assumption.) To obtain this result, `resource conversion' technique, which is widely used in quantum information, is used. We consider distillation from and formation to a family of channels. Under these axioms, we identify the largest and the smallest `metrics'. Interestingly, they are not induced from any inner product, i.e., not a metric. Indeed, one can prove that any `metric' satisfying our axioms can not be a metric. This result has some impact on the axiomatic study of the monotone metric in the space of classical and quantum states, since both conventional theory relies on the inner-product-assumption. Also, we compute the lower and the upper bound for some concrete examples.

研究の動機と目的

• 内積構造を仮定しない、古典的チャネル空間における単調計量の非漸近的理論の構築を目的とする。
• チャネルの連結および恒等チャネルとのテンソル積における不変性という自然な公理の下で、可能な最大および最小の「計量」を特徴付けること。
• 量子および古典的状態の計量理論における内積仮定に依存する従来の枠組みを疑問視すること。
• 量子情報におけるリソース変換枠組みを古典的チャネルへと拡張し、計量に関する構造的制約を導出すること。
• 提案された公理の下で、具体的なチャネル族に対する明示的な下限および上限を計算すること。

提案手法

• チャネルの精製と形成を双対的プロセスとしてモデル化することで、リソース理論的アプローチを採用する。
• 目的のチャネル族に対して、任意のチャネルとの合成による不変性を用いて単調性を定義する。
• 物理的整合性を保証するため、恒等チャネルとのテンソル積における不変性を課す。
• リソース変換技術を用いて、内積を仮定しない適切な「計量」の制約を導出する。
• 接空間の構造を解析し、公理の下での極値計量を同定する。
• 極値の「計量」がいかなる内積からも誘導されないことを示し、したがって真のリーマン計量ではないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的チャネル上の「計量」が、チャネル合成および恒等チャネルとのテンソル積における不変性を満たすための必要十分条件は何か？
• RQ2 提案された公理の下で、古典的チャネル空間における単調「計量」が内積から誘導される可能性はあるか？
• RQ3 提案された公理を満たす最大および最小の「計量」は何か？
• RQ4 極値の「計量」は具体的なチャネル族においてどのように振る舞い、その境界は何か？
• RQ5 これらの結果は、量子および古典的情報幾何学における基礎的仮定にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• 公理を満たす最大および最小の「計量」が明示的に同定され、そのいずれも内積から誘導されないことが示された。
• 公理を満たすいかなる「計量」も、内積から生じないため、真のリーマン計量にはなり得ない。
• 極値の「計量」は従来の意味でのノルムではないため、標準的な微分幾何学的枠組みから根本的に逸脱している。
• 理論は、センコフとペツの結果に中心的役割を果たす内積仮定が、提案された公理と両立しないことを明らかにした。
• 特定のチャネル族に対して、明示的な下限および上限が計算され、この枠組みの実用的適用可能性が示された。
• 結果は、量子および古典的状態の公理的計量理論における内積仮定の基礎的役割に疑問を呈する。