[論文レビュー] On metrizable enveloping semigroups

Eli Glasner, Michael Megrelishvili+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、メトライゼブルなコンパクトな $G$-空間 $X$ に対して、包拡半群 $E(X)$ がメトライゼブルであるための必要十分条件として、系が非可換的である（HAE）、非感受的である（HNS）、またはアスプルンドBanach空間への適切な表現をもつことであることを確立している。主な貢献は、$E(X)$ のメトライゼブル性とこれらの力学的性質との同値性を示したことであり、弱いほぼ周期的（WAP）およびラドン＝ニコディム（RN）系の特徴づけを拡張している。

ABSTRACT

When a topological group $G$ acts on a compact space $X$, its enveloping semigroup $E(X)$ is the closure of the set of $g$-translations, $g\in G$, in the compact space $X^X$. Assume that $X$ is metrizable. It has recently been shown by the first two authors that the following conditions are equivalent: (1) $X$ is hereditarily almost equicontinuous; (2) $X$ is hereditarily non-sensitive; (3) for any compatible metric $d$ on $X$ the metric $d_G(x,y):=\sup\{d(gx,gy): g\in G\}$ defines a separable topology on $X$; (4) the dynamical system $(G,X)$ admits a proper representation on an Asplund Banach space. We prove that these conditions are also equivalent to the following: the enveloping semigroup $E(X)$ is metrizable.

研究の動機と目的

• メトライゼブルな力学系 $(G,X)$ の包拡半群 $E(X)$ がメトライゼブルである条件を特徴づけること。
• 包拡半群 $E(X)$ のメトライゼブル性を用いて、既存の弱いほぼ周期的（WAP）およびラドン＝ニコディム（RN）系の特徴づけを統一すること。
• HAE が鍵となる条件であることを特定することで、WAP系の範囲を超えて包拡半群 $E(X)$ がメトライゼブルとなる系のクラスを拡張すること。
• 包拡半群 $E(X)$ がメトライゼブルであることと、群 $G$ のメトライゼブルな右位相的半群コンパクト化が一致することを確立すること。

提案手法

• 包拡半群 $E(X)$ を、積位相における $G$-平行移動の閉包として定義する。
• 等連続性および感受性の性質を分析するために、距離 $d_G(x,y) = \sup_{g \in G} d(gx, gy)$ を用いる。
• バナッハのカテゴリ定理を適用し、等連続点の $G$-不変な稠密部分集合がほぼ等連続性を示すことの証明を行う。
• アスプルンド空間および半群コンパクト化の性質を用いて、$E(X)$ のメトライゼブル性とHAEとの同値性を証明する。
• 例（例えば、円周と $(\mathbb{N} \cup \{\infty\})$ の積空間上の2進数的シフト）を構成し、HAE が WAP を含まないことを示し、WAP 条件を緩和することを示す。
• メトライゼブルな包拡半群が、群 $G$ のメトライゼブルな右位相的半群コンパクト化と一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトライゼブルな力学系 $(G,X)$ の包拡半群 $E(X)$ がメトライゼブルである条件は何か？
• RQ2 メトライゼブルな $X$ に対して、非可換的である（HAE）ことは、$E(X)$ のメトライゼブル性と同値か？
• RQ3 $E(X)$ がメトライゼブルとなる系のクラスは、WAP系の範囲を超えて拡張可能か？ もし可能であれば、最小の条件は何か？
• RQ4 メトライゼブルな包拡半群は、作用群 $G$ の半群コンパクト化とどのように関係するか？
• RQ5 HAE ではあるが WAP でない力学系は存在するか？ その場合、$E(X)$ はどのような形をしているか？

主な発見

• 包拡半群 $E(X)$ がメトライゼブルであることと、系 $(G,X)$ が非可換的である（HAE）ことは同値である。
• メトライゼブルな $X$ に対して、HAE、非感受的（HNS）、距離 $d_G$ のメトライゼブル性、およびアスプルンドBanach空間への適切な表現という条件はすべて同値である。
• HAE ではあるが WAP でない系が存在する。例えば、$X = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \times (\mathbb{N} \cup \{\infty\})$ 上の2進数的シフトでは、$E(X)$ は2進整数環に同型であり、不連続写像を含む。
• HAE かつメトライゼブルな系の包拡半群 $E(X)$ 自身も、メトライゼブルなHAE系である。
• メトライゼブルな包拡半群のクラスは、群 $G$ のメトライゼブルな右位相的半群コンパクト化のクラスと一致する。
• 可換群 $G$ の場合、点推移的WAP系は、包拡半群と同型であり、可換なメトライゼブルな半位相的半群である。