[論文レビュー] On mod p local-global compatibility for GL_3 in the ordinary case

Florian Herzig, Daniel Le+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Feb 5, 2016

Mathematical Approximation and Integration被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、通常型の場合にGL₃におけるmod p局所的・グローバルな相性を確立し、pでの分解群への制限が、コンpaktoユニタリ群上のmod p自己形式におけるGL₃(F_w)の作用から回復可能であることを示している。これは、通常型、極大非分解型、一般型の条件下で成り立つ。主要な結果は、局所的ガロア表現がmod pラングランズ対応の枠組みを通じて、自動形式側に符号化されていることを確認するものである。

ABSTRACT

Suppose that F/F+ is a CM extension of number fields in which the prime p splits completely and every other prime is unramified. Fix a place w|p of F. Suppose that rbar : Gal(F-bar/F) -> GL_3(Fp-bar) is a continuous irreducible Galois representation such that rbar|_{Gal(F_w-bar/F_w)} is upper-triangular, maximally non-split, and generic. If rbar is automorphic, and some suitable technical conditions hold, we show that rbar|_{\Gal(F_w-bar/F_w)} can be recovered from the GL_3(F_w)-action on a space of mod p automorphic forms on a compact unitary group. On the way we prove results about weights in Serre's conjecture for rbar, show the existence of an ordinary lifting of rbar, and prove the freeness of certain Taylor-Wiles patched modules in this context. We also show the existence of many Galois representations rbar to which our main theorem applies.

研究の動機と目的

• 通常型におけるGL₃のmod p局所的・グローバルな相性を確立し、ラングランズ対応を高ランクへ拡張する。
• p上の素点における局所的ガロア表現が、mod p自動形式上のGL₃(F_w)作用から回復可能であることを示す。
• mod p自動形式の文脈において、通常型の上昇とテイラー＝ワイルズ補正モジュールの自由性を証明する。
• 一般型および極大非分解型条件の下で、セレール重みを特徴付ける。
• 通常型の場合に、フォンタイン＝ラフィール不変量が局所的ガロア表現の同型類を分類することを示す。

提案手法

• 上三角行列型、極大非分解型、一般型の還元を持つmod pガロア表現の構造を、フォンタイン＝ラフィール理論とブレウイルモジュールを用いて分析する。
• p進ホッジ理論および強可除モジュール理論を適用し、ガロア表現と降下構造を持つ線形代数的データを関連付ける。
• テイラー＝ワイルズ法と補正されたヘッケ代数を用いて、通常型設定におけるヘッケ代数上でのモジュールの自由性を証明する。
• ダイアモンド＝フジワラのテクニックを用いて、mod p設定におけるガロア表現と自動表現の間の相性を確立する。
• ユニタリ群を介して、グローバルなガロア表現からmod p自動表現を構成し、その点wにおける局所的成分を分析する。
• ブレウイルモジュールの圏における双対性および正確性の結果を用い、部分モジュールとガロア部分表現を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p上の素点における局所的ガロア表現が、mod p自動形式上のGL₃(F_w)作用から回復可能か？
• RQ2 上三角行列型、極大非分解型、一般型のmod pガロア表現のセレール重みの構造はいかなるものか？
• RQ3 与えられたmod pガロア表現が通常型および一般型条件を満たす場合、通常型の上昇が存在するか？
• RQ4 コンパクトなユニタリ群上のmod p自動形式の空間は、点wにおける局所的ガロア表現を検出するのに十分か？
• RQ5 通常型の場合に、フォンタイン＝ラフィール不変量はどのように局所的ガロア表現を同型類ごとに分類するか？

主な発見

• 点wにおける局所的ガロア表現は、コンパクトなユニタリ群上のmod p自動形式空間におけるGL₃(F_w)作用によって完全に決定される。
• 局所的ガロア表現のフォンタイン＝ラフィール不変量は、ℙ¹(𝔽) ∖ {μ₁} の任意の値を取り得る。この不変量は、局所表現の同型類を分類する。
• 与えられた条件下で、mod pガロア表現の通常型上昇が存在し、通常型設定におけるp進上昇の存在を裏付ける。
• テイラー＝ワイルズ補正モジュールはヘッケ代数上で自由である。これは相性の議論において不可欠である。
• 極大非分解型の場合、mod pガロア表現のセレール重みは完全に特徴付けられており、ホッジ＝テイト重みに制約が課される。
• mod p局所的・グローバルな相性が成立する：ユニタリ群上の自動表現は、点wにおける局所的ガロア表現を自動表現の部分商として実現する。