[論文レビュー] On mod $p$ singular modular forms II

Siegfried Boecherer, Toshiyuki Kikuta|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2026

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ひとこと要約

この論文は mod p^m の特異シーゲル・モジュラー形式をベクトル値ケースに拡張し、重みと p-順位の合同条件を証明する：2k ≡ r (mod (p-1)p^{m-1})。

ABSTRACT

We generalize the notion of mod $p^m$ singular Siegel modular forms of $p$-rank $r$ to the vector-valued case and we show that also in this case a congruence mod $(p-1)p^{m-1}$ between the scalar weight and the $p$-rank must hold. In some sense our proof is even simpler than the one we gave previously in the scaler valued case.

研究の動機と目的

• ベクトル値シーゲル・モジュラー形式のフーリエ係数と Hecke 固有値の整整数性と合同性に関する代数的問いを動機づける。
• 整整数のフーリエ係数を持つ次数 n のシーゲル・モジュラー形式が、rank n の係数すべてが p で割り切れるかどうかを、rank n-1 の係数が p と互いに素である条件下で問う。
• 既存のスカラー値結果をベクトル値設定へ拡張し、重み-順位の合同を確立する。
• Prior work で用いられた theta 分解を避けた自立的な証明を提供する。
• より広い合同サブグループと nebentypus の状況への一般化を議論する。

提案手法

• ベクトル値シーゲル・モジュラー形式の rank r 固定に対する mod p^m 特異性を定義する。
• 部分的な Fourier–Jacobi 展開と Fourier 展開の rank-r 部分の慎重な解析を用いる。
• nebentypus を制御し関連する Fourier 係数を分離するための部分的ねじれ/増補を適用する。
• 得られた合同性を、適切な rank-r 変換を介して一階のモジュラー形式と theta 群との比較へ結びつける。
• レベルの変化の議論とモジュラー形式に関する既知の結果を適用して最終的な重み-順位の合同を導く。
• 成分間で同じスカラー重みがあり不可約性が関係する場合が議論にどう影響するかを論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フルガウスの次数 n のシーゲル・モジュラー形式が整整数のフーリエ係数を持つとき、rank n の係数がすべて p で割り切れる場合、rank n-1 の係数が p と互いに素である場合にもこの性質が成り立つか？
• RQ2 ベクトル値設定における mod p^m 特異性によって、スカラー重み k と p-順位 r の間にどのような合同が強制されるか？
• RQ3 重み-順位の合同は、自然な整整数性条件の下でスカラー値からベクトル値のモジュラー形式へ拡張できるか？
• RQ4 congruence subgroups と mod p のネベントアップスの特徴は、ベクトル値文脈における mod p^m 特異性とどのように相互作用するか？

主な発見

• f が rank r < n の mod p^m 特異であれば 2k ≡ r (mod (p-1)p^{m-1})。
• 整整数のフーリエ係数と表現を実現するベクトル値シーゲル・モジュラー形式についてこの結果が成り立つ。
• theta 分解を避けるために、部分 Fourier–Jacobi 展開と制御されたねじれの議論を活用する。
• 一般の congruence subgroups および二次的 nebentypus modulo p への一般化にも合同性は持続する。
• 表現とレベルに関する緩い条件の下で、スカラー値の場合をベクトル値形式へ拡張する議論が成り立つ。