[論文レビュー] On Moments of Folded and Doubly Truncated Multivariate Extended Skew-Normal Distributions

Christian E. Galarza, Larissa A. Matos+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2020

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、多変量截断および折りたたみ型拡張スケュー正規（ESN）分布の任意の順序の積モーメントを効率的に計算する再帰関係を開発する。多変量正規分布との関連を活用することで、より高速かつ高精度な計算が可能になる。本手法は、特に極端な状況下でも既存手法を上回り、実用的な統計的モデリングのためのRパッケージ「MomTrunc」に実装されている。

ABSTRACT

This article develops recurrence relations for integrals that relate the density of multivariate extended skew-normal (ESN) distribution, including the well-known skew-normal (SN) distribution introduced by Azzalini and Dalla-Valle and the popular multivariate normal distribution. These recursions offer a fast computation of arbitrary order product moments of the multivariate truncated extended skew-normal and multivariate folded extended skew-normal distributions with the product moments as a byproduct. In addition to the recurrence approach, we realized that any arbitrary moment of the truncated multivariate extended skew-normal distribution can be computed using a corresponding moment of a truncated multivariate normal distribution, pointing the way to a faster algorithm since a less number of integrals is required for its computation which results much simpler to evaluate. Since there are several methods available to calculate the first two moments of a multivariate truncated normal distribution, we propose an optimized method that offers a better performance in terms of time and accuracy, in addition to consider extreme cases in which other methods fail. Finally, we present an application in finance where multivariate tail conditional expectation (MTCE) for SN distributed data is calculated using analytical expressions involving normal left-truncated moments. The R MomTrunc package provides these new efficient methods for practitioners. Supplementary files for this article are available online.

研究の動機と目的

• 多変量截断および折りたたみ型拡張スケュー正規（TESN/FESN）分布の任意の順序の積モーメントを、高速かつ高精度に計算するための手法を開発すること。
• 特に歪度および截断が加わった状況下で、多変量TESNおよびFESN分布のモーメントを計算するための既存手法の不足を補うこと。
• 計算性能と頑健性を向上させることを目的とし、標準的手法が失敗する極端な状況でも有効であるようにすること。
• 多変量截断正規（TN）分布の既存手法を活用する統一的な計算フレームワークを提供すること。
• 提案手法を広く統計的実務で活用できるように、アクセスしやすいRパッケージとして実装すること。

提案手法

• 多変量ESN分布の密度関数に関連する積分の再帰関係を導出し、積モーメントの高速計算を可能にする。
• TESN分布のモーメントとTN分布のモーメントの直接的な関係を確立し、必要な積分の数を最小限に抑えることで計算複雑度を低減する。
• 多変量TN分布の第一および第二モーメントを効率的に計算する既知の手法を基盤とし、TESNモーメントの計算に応用する。
• 極限状態や極端な状況下でも、高精度かつ高速に動作する最適化されたアルゴリズムを実装する。
• 提案されたアルゴリズムをRパッケージ「MomTrunc」に統合し、打ち切りまたは境界付きの歪度のあるデータを扱う統計的モデリングのための効率的ツールを提供する。
• 極限分布や極端なパrameter値における数値的不安定性を扱うために、数値近似を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量截断拡張スケュー正規（TESN）分布の任意の順序の積モーメントは、どのようにして効率的に計算できるか？
• RQ2 TESN分布のモーメントと多変量截断正規（TN）分布のモーメントとの間に、計算を高速化するために活用できる関係は何か？
• RQ3 提案手法は、境界に近い截断や高歪度といった極端な状況下でも、既存のアルゴリズムが失敗する状況を処理できるか？
• RQ4 再帰ベースの本手法は、モンテカルロシミュレーションや直接積分法と比較して、速度および精度の点でどのように優れているか？
• RQ5 本フレームワークは、付随的な手段として折りたたみ型拡張スケュー正規（FESN）分布のモーメントを計算するために拡張可能か？

主な発見

• 提案された再帰ベースの手法は、TESNおよびFESN分布の積モーメントを任意の順序で著しく高速かつ高精度に計算可能である。
• 三変量折りたたみESN分布に対して、モンテカルロシミュレーションと比較して約56倍速く、式(29)および(30)を用いた直接積分法と比較しても10倍速い。
• 標準的手法が失敗する極端な状況下でも、多変量TN分布の第一および第二モーメントを計算する既存の代表的手法を上回る性能を示す。
• 極限の正規分布ケースに対してもモーメントを正しく計算でき、戦略的な近似により数値的不安定性に対処している。
• Rパッケージ「MomTrunc」への実装により、打ち切りまたは境界付きの歪度のあるデータを扱う研究者や実務家が利用可能な堅牢でアクセスしやすいツールが提供されている。
• 本フレームワークは、多変量正規分布およびスケュー正規分布に関する先行研究を一般化し、より広範な拡張スケュー正規分布のクラスへと拡張している。