[論文レビュー] On Multisequences and their extensions

Srinivasan Krishnaswamy, Harish K. Pillai|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限体上の多重列に対するR拡張の概念を導入し、R拡張が最大次元に達する多重列を生成するためのアルゴリズムを開発する。このような多重列の数に対する閉形式の公式を導出し、理論を用いてフルランクのハンケル行列の数や、与えられた原始的特性多項式に対してm入力/m出力遅延ブロックを持つLFSR構成の数を数える応用を行う。

ABSTRACT

In this paper we deal with the dimension of multisequences and related properties. For a given multisequence W and an m tuple of positive integers R, we define the R extension of W. Further we count the number of multisequences W whose R extensions have maximum dimension and give an algorithm to derive such multisequences. We then go on to use this theory to count the number of Linear Feedback Shift Register(LFSR) configurations with multi input multi output delay blocks for any given primitive characteristic polynomial and also to design such LFSRs. Further, we use the result on multisequences to count the number of Hankel matrices of any given dimension.

研究の動機と目的

• 多重列のR拡張を定義・分析し、その次元を特徴づける。
• R拡張が最大次元に達する多重列の数に対する公式を導出する。
• R拡張が最大次元に達するような多重列を生成するためのアルゴリズムを開発する。
• 与えられた原始的特性多項式に対して、m入力/m出力遅延ブロックを持つLFSR構成の数を数えるために理論を応用する。
• フルランクのハンケル行列と多重列のR拡張の間の新しい関係を確立し、このような行列の列挙を可能にする。

提案手法

• 多重列の行列状態の概念を導入し、多重列の次元をその行列状態の列空間の次元として定義する。
• R ∈ ℤ₊ᵐ に対して多重列のR拡張を定義し、状態行列をシフトして新たな状態ベクトルを付加することで拡張する。
• 線形再帰関係の同伴行列表現を用いて、多重列のダイナミクスをモデル化する。
• 線形再帰列の理論および最小多項式の理論を応用し、原始的最小多項式を持つ多重列を特徴づける。
• ハンケル行列の構造的性質を用いて、フルランクのハンケル行列とR拡張が最大次元に達する多重列との間の全単射を確立する。
• R拡張の最大次元条件を満たすフルランク行列状態の数に基づいた数え上げ公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重列のR拡張の最大次元は何か？ また、どのような多重列でこの最大値が達成されるか？
• RQ2 有限体 𝔽_q^m 上の多重列のうち、与えられた R ∈ ℤ₊ᵐ に対してR拡張が最大次元に達するものの数は何か？
• RQ3 多重列のR拡張理論を用いて、与えられた原始的特性多項式に対してm入力/m出力遅延ブロックを持つLFSR構成の数を数えることができるか？
• RQ4 フルランクのハンケル行列とR拡張が最大次元に達する多重列との間に構造的対応関係があるか？
• RQ5 有限体 𝔽_q 上のn×nフルランクハンケル行列の数は何か？

主な発見

• R拡張が最大次元に達する 𝔽_q^m 内の多重列の数は、行列状態とR拡張の構造に基づいて導出された閉形式の公式で与えられる。
• 次数 2n−1 の与えられた原始的多項式 p(s) と R = (n−1, n) に対して、𝔽_q 上のn×nフルランクハンケル行列の数は正確に q^{2n−1} − q^{2n−2} である。
• この理論により、指定された原始的特性多項式を持つシーケンスを生成するm入力/m出力遅延ブロックを持つLFSR構成の列挙が可能になる。
• フルランクハンケル行列とR拡張が最大次元に達する多重列との間の全単射が確立され、多重列の列挙に基づく正確な数え上げが可能になる。
• R拡張が最大次元に達する多重列を生成するアルゴリズムが提示され、フルランク行列状態の構築に基づく。
• 多重列の次元はその行列状態の列空間の次元として定義され、R拡張は状態行列にシフトされた状態を追加することで構築される。