[論文レビュー] On nonclassical symmetries of generalized Huxley equations

Nataliya M. Ivanova, C. Sophocleous|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化されたHuxley方程式 $ u_t = u_{xx} + k(x)u^2(1 - u) $ に対する非古典的対称性の完全分類を提示し、$ \tau = 1 $ の還元作用素に焦点を当て、$ \tau = 0 $ の場合にも多数の例を提供する。主な貢献は、$ k(x) = c \tan^2 x $、$ k(x) = c \tanh^2 x $、$ k(x) = \frac{c}{x^2} $ を含む、新たな非古典的対称性のケースの同定であり、既知の結果を拡張し、不変表面条件を用いて新たな相似解を提示する。

ABSTRACT

Nonclassical symmetries of a class of generalized Huxley equations of form $u_t=u_{xx}+k(x)u^2(1-u)$ are found. More precisely, for the class under consideration we completely classify reduction operators with $τ=1$ and give a wide number of examples of equations admitting reduction operators with $τ=0$.

研究の動機と目的

• 一般化されたHuxley方程式 $ u_t = u_{xx} + k(x)u^2(1 - u) $ に対する非古典的対称性の完全分類を実行し、特に $ \tau = 1 $ の還元作用素を対象とする。
• $ \tau = 0 $ の非古典的対称性を有する方程式の特定と例の提示を行い、既存の文献における結果を拡張する。
• 同値変換と条件付き不変性基準を用いて、純粋な非古典的対称性と古典的リー対称性を区別する。
• 非古典的対称性作用素から導かれる不変表面条件を用いて、特に $ \tau = 0 $ の場合の相似解を構成する。

提案手法

• 本稿は、条件付き不変性基準に基づく非古典的対称性法を適用し、$ Q = \tau \partial_t + \xi \partial_x + \eta \partial_u $ が $ Q_{(r)}L|_{\mathcal{L} \cap \mathcal{Q}^{(r)}} = 0 $ を満たす還元作用素を分類する。
• $ \tau = 1 $ の場合、問題は $ \xi $ と $ \eta $ に関する偏微分方程式系の解法に帰着され、$ k(x) $ と対応する対称性作用素の分類が得られる。
• $ \tau = 0 $ の場合、作用素は $ Q = \partial_x + \eta(t,x,u)\partial_u $ に正規化され、不変表面条件 $ u_x = \eta $ を用いて $ \eta $ に関する偏微分方程式が導かれる。この方程式は $ u $ に関する多項式のアンザッツを仮定して解かれる。
• 変数 $ t $ と $ x $ のスケーリングおよび平行移動からなる同値群 $ G^\sim $ が、重複するケースを排除し、結果の $ G^\sim $-非同値性を保証するために用いられる。
• 非古典的不変性基準から導かれる過剰な偏微分方程式系を解く手法が用いられ、整合性と可積分性に特に注意が払われる。
• 特定のアンザッツ、例えば $ \eta = B(x)u^2 \pm \tan x \, u $、$ \eta = B(x)u^2 + \coth x \, u $、$ \eta = B(x)u^2 + \frac{u}{x} $ が用いられ、$ \eta $ と $ k(x) $ の新たな解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの一般化されたHuxley方程式が $ \tau = 1 $ の非古典的対称性を有するか？ その対応する $ k(x) $ と対称性作用素は何か？
• RQ2 $ \tau = 0 $ の非古典的対称性の $ G^\sim $-非同値なケースは何か？ そして、それらはどのように体系的に分類できるか？
• RQ3 $ \tau = 0 $ の非古典的対称性は、不変表面条件 $ u_x = \eta $ を通じてどのように新たな相似解を導くか？
• RQ4 $ \tau = 0 $ の場合に得られる、既存の文献で知られていなかった新たな対称性のケースは何か？
• RQ5 非古典的対称性法は、古典的リー対称性から得られるものとは異なる新たな厳密解を一般化されたHuxley方程式に対して得られるか？

主な発見

• $ \tau = 1 $ の非古典的対称性について完全分類が得られ、4つの異なるケースが特定された：$ k = c \tan^2 x $、$ k = c \tanh^2 x $、$ k = c x^{-2} $、および $ k = \frac{c}{\psi^2} $（$ \psi' = \psi^2 + a $ を満たす $ \psi $ が特定の常微分方程式を満たす場合）。
• $ \tau = 1 $ の場合、$ c < 0 $ のとき $ k = c \tan^2 x $ および $ k = c \tanh^2 x $ は新規であるが、$ k = c x^{-2} $ はスケーリング対称性に対応する。
• $ \tau = 0 $ の場合、8つの $ G^\sim $-非同値なケースが同定され、$ k = 2B^2 $ で $ \eta = B(x)u^2 \pm \tan x \, u $、$ \eta = B(x)u^2 \pm \tanh x \, u $、$ \eta = B(x)u^2 + \frac{u}{x} $ が含まれ、それぞれ $ B(x) $ に関する特定の常微分方程式を伴う。
• $ B(x) $ の常微分方程式の解として、$ B = \tan x $、$ B = -\tanh x $、$ B = -\coth x $、$ B = -\frac{1}{x} $ が得られ、これらは有効な非古典的対称性作用素を導く。
• $ k = \frac{2}{x^2} $、$ \eta = \frac{1}{x}(u^2 - 1) $ および $ k = \frac{1}{2x^2} $、$ \eta = \frac{1}{2x}u^2 $ は、$ \tau = 0 $ の場合の新たな例として特定された。
• $ k = 2\tan^2 2x $、$ \eta = -u^2 \tan 2x $ および $ k = 2\tanh^2 2x $、$ \eta = u^2 \tanh 2x $ も新規であり、明示的に構成された。