[論文レビュー] On nonsymmetric rank one singular perturbations of selfadjoint operators

Mykola Dudkin, Тетяна Іванівна Вдовенко|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自己共役作用素に対する非対称ランク1特異摂動を調査し、摂動ベクトル ω₁ と ω₂ が異なる場合、かつそれらが負の空間 ℋ₋₂ に属する場合に、古典的な対称摂動理論を拡張する。M. Kreïnの公式とリゾルベント解析を用いて、スペクトル性質、固有値の挙動（関連固有値対を含む）、および波動作用素の存在を確立し、ℋ₋₁およびℋ₋₂空間における散乱行列と近似スキームの明示的構成を行う。

ABSTRACT

We consider nonsymmetric rank one singular perturbations of a selfadjoint operator, i.e., an expression of the form $ ilde A = A + α\left\langle\cdot, ω_1 ight angleω_2$, $ω_1 ot = ω_2$, $α\in{\mathbb C}$, in a general case $ω_1,ω_2\in{\mathcal H}_{-2}$. Using a constructive description of the perturbed operator $ ilde A$, we investigate some spectral and approximations properties of $ ilde A$. The wave operators corresponding to the couple $A$, $ ilde A$ and a series of examples are also presented.

研究の動機と目的

• ω₁ ≠ ω₂ である非対称の場合に、古典的な対称ランク1特異摂動理論を一般化すること。
• ω₁, ω₂ ∈ ℋ₋₂ であるとき、摂動作用素 Â = A + α⟨⋅,ω₁⟩ω₂ のスペクトル的性質を調査すること。
• ℋ₋₁およびℋ₋₂スケールにおいて、対称摂動を非対称摂動によって近似する性質を分析すること。
• ペア (A, Â) に対する波動作用素の存在および明示的形を特定すること。

提案手法

• ℋ₊₂の双対空間としてℋ₋₂を定義するAスケールのヒルベルト空間を用いて、摂動作用素 Â の構成的記述を行う。
• M. Kreïnのリゾルベント公式を適用し、Aのリゾルベントおよび摂動パラメータを用いてÂのリゾルベントを導出する。
• スペクトルの台（spsupp）分解を用いて、ω,ϕ ∈ ℋ₋₂ のときの双対ペアリング ⟨ω,ϕ⟩ を定義し、互いに不重複なスペクトルの台により収束を保証する。
• リゾルベントおよびスペクトル射影の漸近的挙動を分析することで、波動作用素および散乱行列の明示的表現を導出する。
• 例として、L₂空間（例えば、ℝ 上の x² による乗算作用素およびラプラシアン）における構成例を提示し、結合定数と固有関数を明示的に計算することで理論的結果を検証する。
• リゾルベントの恒等式 (Â − z)⁻¹ = (A − z)⁻¹ + b_z ⟨⋅, n_z⟩ m_z を用いて、摂動構造およびスペクトル挙動を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称ランク1摂動 Â = A + α⟨⋅,ω₁⟩ω₂ がℋ₋₂スケールにおいて適切に定義された作用素を定めるための条件は何か？
• RQ2 特に、点スペクトルの性質およびその位置、特に関連固有値対を含めたÂのスペクトル的性質は何か？
• RQ3 ℋ₋₁およびℋ₋₂位相において、対称特異摂動を非対称摂動によって近似することは可能か？ その場合、リゾルベントおよびスペクトルにどのような影響があるか？
• RQ4 ペア (A, Â) に対して波動作用素が存在するか？ その場合、明示的に構成可能か？
• RQ5 ペア (A, Â) の散乱行列の構造は何か？ また、結合定数 α とどのように関係しているか？

主な発見

• ω₁, ω₂ ∈ ℋ₋₂ のとき、摂動作用素 Â は適切に定義され、閉作用素である。リゾルベントはM. Kreïnの公式を用いて b_z および双対ペアリングを含む形で表現される。
• Â の点スペクトルには、非対称構造に起因する関連固有値対が含まれる可能性があり、これは対称の場合には存在しない現象である。
• 例1では、結合定数が α = −8 として明示的に計算され、⟨φ_λ, ω₁⟩ = 1/8 から導出されて摂動の強さが確認された。
• 遅れ付きδ-相互作用を伴うℝ 上のラプラシアンに対しては、Re(α) < 0 のとき、作用素 −Δ̃ は単一の負の固有値 −α²/4 を持ち、対応する固有関数は φ = (−α/2)^{1/2} e^{α|x−y₁|/2} である。
• 摂動がℋ₋₂スケールにあるとき、ペア (A, Â) の波動作用素が存在し、明示的に構成可能であり、これにより散乱行列の定義が可能になる。
• ℋ₋₁およびℋ₋₂における対称摂動の非対称摂動による近似は可能であり、適切な条件下でリゾルベントおよびスペクトル的性質が保存される。