[论文解读] On numerical approximation of the Hamilton-Jacobi-transport system arising in high frequency approximations

Yves Achdou, Fabio Camilli+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 30被引用 8

一句话总结

本文提出了一种半拉格朗日有限元格式，用于数值求解高频频近似中出现的耦合哈密顿-雅可比-输运系统，例如在几何光学和半经典极限中。在弱正则性假设下，该格式可确保收敛至粘性-测度值解，其稳定性与收敛性证明依赖于次凸性与单边利普希茨条件。

ABSTRACT

In the present article, we study the numerical approximation of a system of Hamilton-Jacobi and transport equations arising in geometrical optics. We consider a semi-Lagrangian scheme. We prove the well posedness of the discrete problem and the convergence of the approximated solution toward the viscosity-measure valued solution of the exact problem.

研究动机与目标

• 开发一种针对高频频近似中出现的耦合哈密顿-雅可比-输运系统的稳定且收敛的数值格式。
• 解决由于哈密顿-雅可比方程的粘性解而导致速度场正则性较低的挑战。
• 建立离散解对连续系统粘性-测度值解的收敛性。
• 在不依赖粘性解的强次凸性条件下，确保稳定性与收敛性，仅依赖于离散次凸性与单边利普希茨（OSL）条件。

提出的方法

• 对哈密顿-雅可比方程应用半拉格朗日时间格式，沿特征线向后追踪。
• 采用有限元方法进行空间离散化，使用在规则三角剖分上的分段线性基函数。
• 该格式保持了解的离散次凸性，从而在弱正则性假设下保证稳定性。
• 在离散层面施加单边利普希茨（OSL）条件，使输运方程存在唯一测度解。
• 收敛性证明依赖于离散特征线的等连续性与Filippov特征线的稳定性。
• 构建并分析了一个全离散格式，通过弱紧致性与相容性论证建立收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种半拉格朗日有限元格式，使其收敛至耦合HJ-输运系统的粘性-测度值解？
• RQ2 当输运方程中的速度场仅属于$L^∞$（由于HJ方程的粘性解）时，如何保证数值稳定性？
• RQ3 该格式是否在离散层面保持次凸性性质，从而在精确解无强正则性假设下实现收敛？
• RQ4 即使精确解缺乏次凸性，是否也能在离散层面满足单边利普希茨（OSL）条件？
• RQ5 Filippov特征线在证明数值格式收敛至测度值解的过程中起什么作用？

主要发现

• 离散问题适定，该格式在离散层面保持了初始数据的次凸性。
• 即使速度场仅属于$L^∞$，数值解仍收敛至连续系统的粘性-测度值解。
• 在参考情形$a(x,p)=p$下，离散层面自动满足单边利普希茨（OSL）条件，从而保证了输运方程的稳定性。
• 收敛性证明依赖于离散特征线的等连续性与关联测度解的稳定性。
• 该格式在弱正则性假设下为粘性-测度解提供了新的存在性与唯一性结果。
• 该方法适用于半经典薛定谔方程与赫尔姆霍兹方程中的系统，以及高频波传播问题。