[論文レビュー] On Optimal 2- and 3-Planar Graphs

Michael A. Bekos, Michael Kaufmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最大辺数 5n−10 および 5.5n−11 を達成する最適な 2-および 3-平面グラフを完全に特徴づけている。その結果、真の平面スケルトンにおける各面が 2-平面の場合には 5-サイクル、3-平面の場合には 6-サイクルであり、それぞれ正確に 5 または 8 本の追加の交差辺を持つという非常に規則的な構造を持つことが示された。この特徴づけにより、最適な 2-平面グラフはファン平面的であり、バーバリスビリティ表現を有することが判明した。一方、最適な 3-平面グラフはファン平面的ではなく、準平面的であることが明らかになった。

ABSTRACT

A graph is $k$-planar if it can be drawn in the plane such that no edge is crossed more than $k$ times. While for $k=1$, optimal $1$-planar graphs, i.e., those with $n$ vertices and exactly $4n-8$ edges, have been completely characterized, this has not been the case for $k \geq 2$. For $k=2,3$ and $4$, upper bounds on the edge density have been developed for the case of simple graphs by Pach and Tóth, Pach et al. and Ackerman, which have been used to improve the well-known "Crossing Lemma". Recently, we proved that these bounds also apply to non-simple $2$- and $3$-planar graphs without homotopic parallel edges and self-loops. In this paper, we completely characterize optimal $2$- and $3$-planar graphs, i.e., those that achieve the aforementioned upper bounds. We prove that they have a remarkably simple regular structure, although they might be non-simple. The new characterization allows us to develop notable insights concerning new inclusion relationships with other graph classes.

研究の動機と目的

• 最適な 2-および 3-平面グラフを完全に特徴づけること。これらは辺密度の理論的上限に達する。
• 非単純性の可能性があるにもかかわらず、これらの最適グラフが一様で規則的な構造的パターンを有するかどうかを特定すること。
• 最適な 2-および 3-平面グラフと、ファン平面的およびバービスビリティグラフなどの他のグラフクラスとの包含関係を調査すること。
• 最適な 2-および 3-平面グラフに観察された構造的規則性が、k ≥ 4 の場合のより高い k-平面グラフへ一般化可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 最適な k-平面グラフの真の平面スケルトン Π(G) を分析し、すべての面が固定サイズの単純サイクル（2-平面では 5、3-平面では 6）であることを確認する。
• スケルトン内の各面が正確に 5（2-平面）または 8（3-平面）本の辺によって交差されることを証明し、規則的な配置を形成することを示す。
• s-t順序付けとバービスビリティ表現技術を用いて、単純な最適な 2-平面グラフがバーバリスビリティ表現を有することを示す。
• トポロジカルグラフ理論と交差グラフ解析を適用し、交差辺の構造的制約および成分の接続性を確立する。
• 先行研究による k-平面グラフの辺密度の上限（例：2-平面では 5n−10）を用い、ホモトープな辺のない非単純グラフへ拡張する。
• 最適な k-平面グラフをファン平面的および準平面的クラスと比較し、包含関係および構造的関係を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適な 2-平面グラフがどのような構造的性質を有するか。また、それらを完全に特徴づけることができるか。
• RQ2 最適な 3-平面グラフは、最適な 2-平面グラフと同様に、類似した規則的な構造を示すか。
• RQ3 すべての単純な最適な 2-平面グラフはファン平面的であるか。また、それらはバーバリスビリティ表現として表現可能か。
• RQ4 最適な 2-および 3-平面グラフに観察された構造的規則性は、k ≥ 4 の最適な k-平面グラフへ一般化可能か。
• RQ5 最適な 2-および 3-平面グラフは準平面的性質を満たすか。また、k ≥ 3 の場合に既知の結果が拡張可能か。

主な発見

• 最適な 2-平面グラフの真の平面スケルトンでは、すべての面が 5-サイクルであり、それぞれの面の内部に正確に 5 本の交差辺が存在する。
• 最適な 3-平面グラフの真の平面スケルトンでは、すべての面が 6-サイクルであり、それぞれの面の内部に正確に 8 本の交差辺が存在する。
• 単純な最適な 2-平面グラフはファン平面的である。その PMCM-図では、辺の交差が共通の端点でのみ発生するため、ファン平面的条件を満たす。
• 単純な最適な 2-平面グラフはバーバリスビリティ表現を有する。この表現では、各可視性辺が高々 1 つの頂点バーと交差する。
• 最適な 3-平面グラフはファン平面的ではない。これは、共通の端点を持たない 3 本の互いに交差する辺の配置を含むためである。
• 最適な 2-および 3-平面グラフは準平面的である。これは、k=2 に対しても k-準平面的性質が拡張可能である可能性を示唆している。