[논문 리뷰] On (p,q)-analogue of Bernstein-Schurer operators

M. Mursaleen|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 22.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 (p,q)-정수를 사용하여 새로운 (p,q)-베르슈테인-슐류어 연산자를 도입하며, 기존의 q-베르슈테인-슐류어 연산자를 일반화한다. 이는 코로브킨 유형의 근사 정리, 연속성 모듈러스를 통한 수렴 분석, 직접 근사 정리의 증명을 포함하여, 고전적 근사 결과를 (p,q) 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Recently, Mursaleen et al [14], introduced and studied the (p,q)-analogue of Bernstein operators by using the idea of (p,q)-integers. In this paper, we generalize q-Bernstein-Schurer operators using (p,q)-integers and obtain Korovkin’s type approximation theorem for these operators. Furthermore, we also compute the convergence of the operators by using the modulus of continuity and provide some direct Theorems.

연구 동기 및 목표

• q-베르슈테인-슐류어 연산자를 (p,q)-정수를 사용한 (p,q)-해석으로 일반화하는 것.
• 새로운 (p,q)-베르슈테인-슐류어 연산자를 위한 코로브킨 유형의 근사 정리를 수립하는 것.
• 연속성 모듈러스를 사용하여 수렴 속도를 조사하는 것.
• 제안된 연산자를 위한 직접 근사 정리를 유도하는 것.

제안 방법

• 연구는 (p,q)-정수를 활용하여 기존의 q-베르슈테인-슐류어 연산자를 일반화하는 새로운 선형 양의 연산자 가족을 구성한다.
• 연속 함수 공간 [0,1]에서 연산자의 수렴성을 보일 목적으로 코로브킨의 정리를 적용한다.
• 연산자의 수렴 속도를 추정하기 위해 연속성 모듈러스를 사용한다.
• 직접 근사 정리는 디츠안-토티크의 매끄러움 모듈러스를 사용하여 도출된다.
• 분석은 C[0,1]의 함수에 대한 근사 이론의 프레임워크 내에서 수행된다.
• 결과는 고전적 근사 결과를 (p,q) 설정으로 확장하여 더 일반적인 프레임워크를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q-베르슈테인-슐류어 연산자는 어떻게 (p,q)-정수를 사용하여 일반화될 수 있는가?
• RQ2 새로운 (p,q)-베르슈테인-슐류어 연산자의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 (p,q)-해석의 베르슈테인-슐류어 연산자를 위한 코로브킨 유형의 근사 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 이러한 새로운 연산자를 위한 직접 근사 정리는 무엇인가?

주요 결과

• (p,q)-정수를 사용하여 새로운 (p,q)-베르슈테인-슐류어 연산자 클래스가 성공적으로 구성되었다.
• 제안된 연산자를 위한 코로브킨 유형의 근사 정리가 증명되었으며, 이는 [0,1]에서 연속 함수에 대한 수렴을 보장한다.
• 연속성 모듈러스를 사용하여 수렴 속도가 정량화되었으며, 이는 정량적 추정을 제공한다.
• 직접 근사 정리가 수립되었으며, 이는 근사 오차와 함수의 매끄러움 정도 사이의 관계를 연결한다.
• 기존의 q-베르슈테인-슐류어 근사 결과가 더 넓은 (p,q) 프레임워크로 일반화되었다.
• 이 프레임워크는 더 유연한 매개변수화를 가능하게 하여, 특정 함수 클래스에 대해 더 나은 근사를 가능하게 한다.