[論文レビュー] On parabolic and elliptic equations with singular or degenerate coefficients

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、上半空間における $x_d^\alpha$ 形式の特異的または退化的係数をもつ放物型および楕円型方程式の解の存在、一意性、正則性を確立する。重み付きソボレフ空間および混合ノルム重み付きソボレフ空間を用いて、係数の正則性を最小限にした仮定のもとで局所境界重み付き推定およびカルデロン＝ジグムンド型推定を証明し、Muckenhoupt $A_2$ 条件を満たさない場合（$\alpha \geq 1$ の場合）の古典的結果への拡張を実現する。

ABSTRACT

We study both divergence and non-divergence form parabolic and elliptic equations in the half space $\{x_d>0\}$ whose coefficients are the product of $x_d^α$ and uniformly nondegenerate bounded measurable matrix-valued functions, where $α\in (-1, \infty)$. As such, the coefficients are singular or degenerate near the boundary of the half space. For equations with the conormal or Neumann boundary condition, we prove the existence, uniqueness, and regularity of solutions in weighted Sobolev spaces and mixed-norm weighted Sobolev spaces when the coefficients are only measurable in the $x_d$ direction and have small mean oscillation in the other directions in small cylinders. Our results are new even in the special case when the coefficients are constants, and they are reduced to the classical results when $α=0$

研究の動機と目的

• 境界で特異的または退化的となる係数 $x_d^\alpha$（$\alpha \in (-1, \infty)$）をもつ放物型および楕円型方程式の解の存在、一意性、正則性を確立すること。
• 係数が $x_d^\alpha$ の重みをもつ場合に、Muckenhoupt $A_2$ 条件を満たさない（$\alpha \geq 1$ の場合）方程式に対しても、古典的カルデロン＝ジグムンド理論を拡張すること。
• 係数の滑らかさを最小限にした仮定のもとで、重み付きソボレフ空間および混合ノルム重み付きソボレフ空間における正規化およびノイマン型境界値問題を分析すること。
• 発散型および非発散型方程式に対して、$x_d^\alpha$-重み付き係数のもとで局所境界重み付き推定を提供すること。
• 主要係数に構造的条件を課した非発散型方程式への一般化を図り、分数マスター方程式および金融数理への応用を含むこと。

提案手法

• 境界付近での特異的・退化的係数を扱うために、測度 $x_d^\alpha \, dz$ に関する重み付きソボレフ空間を用いる。
• 逆ホルダー不等式および重み付きフェッファーマン＝シュタイン・ハーディー＝リトルウッド最大関数定理を用い、混合ノルム重み付きソボレフ空間における事前推定に基づき、局所境界重み付き推定を確立する。
• 発散型方程式では、弱解が重み付き設定で適切に定義されるように、正規化境界条件 $\lim_{x_d \to 0^+} x_d^\alpha (a_{dj} D_j u - F_d) = 0$ を採用する。
• 非発散型方程式では、$a_{dj} = 0$ または $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$ といった構造的条件を課し、変数変換により発散型に類似した構造に還元可能であることを示す。
• 主な技術として、小さなシリンダー内での平均値の振動に関する推定と、指数 $p_j$ を段階的に増加させるブートストラップ法を組み合わせ、$p_0$ での $L^p$ 正則性を $p > p_0$ へ拡張する。
• 重み付き $L^p$ 界の事前推定と、解を局所化するためのカットオフ関数 $\eta$ を用いた、重み付き $W^{1,2}_p$ 空間における可解性結果の適用に基づく証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が $x_d^\alpha$ である放物型および楕円型方程式に対して、$\alpha \geq 1$ の場合に、重み $x_d^\alpha$ が Muckenhoupt $A_2$ 条件を満たさない場合でも、解の存在、一意性、正則性を確立できるか？
• RQ2 解が存在し、正則である適切な関数空間（特に重み付きおよび混合ノルムソボレフ空間）は何か？
• RQ3 係数の正則性を最小限にした仮定のもとで、発散型および非発散型方程式に対して、$x_d^\alpha$-重み付き係数の下での局所境界重み付き推定はどのように振る舞うか？
• RQ4 係数が法線方向にのみ可測で、接線方向に小さな平均値の振動をもつ退化的係数をもつ方程式に対しても、カルデロン＝ジグムンド型推定を拡張できるか？
• RQ5 構造的条件 $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$ が、特異的重みをもつ非発散型方程式の解析を可能にする役割は何か？

主な発見

• モデル方程式 $x_d^\alpha u_t - \textup{div}[x_d^\alpha(\nabla u - F)] = x_d^\alpha f$ に対して、任意の $p \in (1, \infty)$ に対して、局所境界重み付き推定 $\left(\int_{Q_1^+} (|u|^p + |Du|^p) x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p} \leq N \int_{Q_2^+} (|u| + |Du|) x_d^\alpha \, dz + N \left(\int_{Q_2^+} |F|^p x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p} + N \left(\int_{Q_2^+} |f|^{p^*} x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p^*}$ が成り立つ。ここで $p^* \in [1, p)$ は $\alpha$、$p$、$d$ に依存する。
• 係数が $x_d$ 方向にのみ可測で、他の方向に小さな平均値の振動をもつ場合でも、発散型および非発散型方程式の両方に対して、重み付き混合ノルムソボレフ空間における事前推定を確立する。
• 事前推定 (2.4) と定理 2.2 の可解性結果に基づく近似法により、重み付き混合ノルムソボレフ空間における可解性を証明する。
• 非発散型方程式に対しては、$a_{dj} = 0$ または $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$ ならば、方程式 $a_0 u_t - a_{ij} D_{ij} u - \frac{\alpha}{x_d} a_{dj} D_j u + \lambda c_0 u = f$ およびノイマン型境界条件 $\lim_{x_d \to 0^+} x_d^\alpha a_{dj} D_j u = 0$ が、$a_0, c_0$ および $p$ に対して適切な仮定のもとで $W^{1,2}_p$ 内に一意解をもつことを証明する。
• 指数列 $p_j$ を用いたブートストラップ法により、$(d+3+\alpha_+)/p_{j-1} < 1 + (d+3+\alpha_+)/p_j$ を満たすように $p_0$ から任意の $p > p_0$ への $L^p$ 正則性の拡張を可能とし、コロナリー2.9の最終的推定 (2.7) を得る。
• 定数係数の場合でも本結果は新規であり、$\alpha = 0$ の場合の古典的結果を一般化し、分数マスター方程式および金融数理への応用を含む、より広範な退化的・特異的PDEの理論へと拡張する。