[論文レビュー] On Partial Vertex Cover on Bipartite Graphs and Trees

Bugra Caskurlu, K. Subramani|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2013

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、部分頂点被覆（PVC）問題が二部グラフ上でNP困難であることを確立している。一方で、木や最大次数3の二部グラフでは多項式時間で解ける。これは、マージン的に非増加被覆（MNC）性という性質を導入し、それを活用することで達成された。著者らは、木および有界次数の二部グラフがMNC性を満たすことを証明し、これらのクラスにおけるPVCのための効率的アルゴリズムの実現を可能にした。

ABSTRACT

It is well-known that the Vertex Cover problem is in P on bipartite graphs, however; the computational complexity of the Partial Vertex Cover problem on bipartite graphs is open. In this paper, we first show that the Partial Vertex Cover problem is NP-hard on bipartite graphs. We then identify an interesting special case of bipartite graphs, for which the Partial Vertex Cover problem can be solved in polynomial-time. We also show that the set of acyclic bipartite graphs, i.e., forests, and the set of bipartite graph where the degree of each vertex is at most 3 fall into that special case. Therefore, we prove that the Partial Vertex Cover problem is in P on trees, and it is also in P on the set of bipartite graphs where the degree of each vertex is at most 3.

研究の動機と目的

• 二部グラフ上での部分頂点被覆（PVC）問題の未解決な計算複雑性を解明すること。
• PVCの多項式時間解法を可能にする、二部グラフおよび木の構造的性質を同定すること。
• マージン的に非増加被覆（MNC）性を、PVCの多項式時間可解性の十分条件として確立すること。
• MNC性が頂点重み付き木へ拡張できるかの限界を分析すること。
• 二部グラフおよび木におけるPVCのためのより良い近似アルゴリズムの可能性を検討すること。

提案手法

• CLIQUE問題からの帰着を用いて、二部グラフ上でのPVCのNP困難性を証明した。
• PVCの多項式時間可解性を保証する構造的条件として、マージン的に非増加被覆（MNC）性を導入した。
• 木がMNC性を満たすことを示し、これによりPVCが木上でPに属することを示した。
• 最大次数3の二部グラフがMNC性を満たすことを証明し、このクラス上でのPVCがPに属することを示した。
• 組合せ的議論と辺数の数え上げを用いて、次数制約がMNC性を破るような構成を防ぐことを示した。
• 頂点重みが{1,2}に制限されても、MNC性が頂点重み付き木では成り立たない反例を提示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分頂点被覆問題は二部グラフ上でNP困難か？
• RQ2 マージン的に非増加被覆（MNC）性は、二部グラフ上でのPVCの多項式時間可解性を特徴づけるか？
• RQ3 木や有界次数の二部グラフといった特定のグラフクラスでは、PVCが多項式時間で解けるか？
• RQ4 MNC性は頂点重み付き木へ拡張可能か？もし不可能ならその理由は何か？
• RQ5 二部グラフ上でのPVCの近似比を4/3未満に改善できるか？

主な発見

• CLIQUE問題からの帰着により、部分頂点被覆問題が二部グラフ上でNP困難であることが示された。
• 木がマージン的に非増加被覆（MNC）性を満たすため、PVCは木上で多項式時間で解ける。
• 各頂点の次数が3以下である二部グラフでは、MNC性が成り立つため、PVCはこのクラスで多項式時間で解ける。
• 頂点重みが{1,2}に制限されても、MNC性は頂点重み付き木では成り立たない。反例によりこれを示した。
• 反例では、連続する解のサイズにおけるエッジ被覆増加分の差がMNC条件を破っている。具体的には、OPT_T(3) - OPT_T(2) > OPT_T(2) - OPT_T(1) が成立する。
• PVCの最良近似比は依然として(4/3 + ε)であり、4/3未満への改善は有望な研究方向性として特定された。