[논문 리뷰] On Period Relations for Automorphic L-functions II

Fabian Januszewski|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 37인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 전체적으로 실수인 필드 위의 GL(2n)의 자동형 표현의 표준 L함수의 특수값에 대한 주기 관계를 증명한다. 이는 코homologically 유도된 함수형의 유리수 구조와 임의의 특성 0의 체 위에서의 딱딱한 대칭성(duality)을 사용하여 이루어지며, 주요 결과는 비율 인자까지 Deligne의 추측을 확인한다. 주기들은 자동형 기저 변경과 Galois 호환성에 따라 예측된 대수적 구조와 일치한다.

ABSTRACT

We study Hecke algebras for pairs $({\mathfrak g},K)$ over arbitrary fields $E$ of characteristic $0$, define the Bernstein functor and give another definition of the Zuckerman functor over $E$. Building on this and the author's previous work on rational structures on automorphic representations, we show that hard duality remains valid over $E$ and apply this result to the study of rationality properties of Sun's cohomologically induced functionals. Our main application are period relations for the special values of standard $L$-functions of automorphic representations of $\mathrm{GL}(2n)$ admitting Shalika models.

연구 동기 및 목표

• GL(2n)의 자동형 표현의 표준 L함수에 대한 유리수성과 주기 관계를, 전체적으로 실수인 필드 위에서 Shalika 모델을 갖는 표현에 대해 수립한다.
• Rankin-Selberg 콘볼루션을 초월한 표준 L함수의 경우에 대해 자동형 표현의 유리수 구조 방법을 확장한다.
• 이러한 자동형 표현과 관련된 추측되는 모티브에 부착된 L함수의 임계값에 대한 Deligne의 추측을 검증한다.
• 무한 성분에서 코homological 유도에 의해 Π_∞ 위의 Q(Π)-유리수 함수형이 아치메데스 주기 적분에 의해 생성됨을 증명한다.
• 특수값 비율의 Galois 호환성을 확립하여 주기의 기대되는 산술적 구조와의 호환성을 확인한다.

제안 방법

• 임의의 특성 0의 체 위에서 Bernstein 및 Zuckerman 함자를 사용하여 코homologically 유도된 함수형의 유리수 구조를 구성한다.
• 일반적인 기저 위에서 히케 대수의 딱딱한 대칭성을 적용하여 Casselman-Wallach 표현 위의 함수형의 유리수성을 제어한다.
• Bernstein 함자의 기저 변경 성질과 대수적 Borel-Bott-Weil 정리를 사용하여 서로 다른 체 위에서의 코homology를 연결한다.
• Q(μ) 위에서의 상대 리 대수 코hom올로지로 표준 모듈의 하단 층의 구조를 분석한다.
• 주기 적분의 명시적 공식을 유도하고 코homologically 유도된 사상의 비영성 조건을 증명한다.
• 콤팩트 군의 유리수 모델 이론과 유한 차원 표현 이론을 활용하여 전역 주기 관계에서 산술 조건을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(2n) 자동형 표현의 Shalika 모델을 갖는 표준 L함수의 특수값은 Deligne의 추측이 예측하는 주기 관계를 만족하는가?
• RQ2 임계점에서의 아치메데스 주기 적분은 표현의 무한 성분 위에서 Q(Π)-유리수 함수형을 생성하는가?
• RQ3 L(s,Π⊗χ)의 전역 주기 관계는 Aut(C/Q)에 대한 기대되는 Galois 호환성과 호환되는가?
• RQ4 유한 차수의 히케 특성에 의한 편향에서 주기 Ω±(Π)는 어떻게 행동하며, 예측된 대수적 구조와 일치하는가?
• RQ5 정확히 Q(Π)와 √−1의 기여가 주기 공식에서 어떤 관계를 가지는가, 특히 n 이 홀수일 경우에 대해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 주기 관계가 성립한다: L(1/2 + k, Π) ∈ (2πi)^{m·k} · Q(Π) · Ω_{(-1)^k}(Π)이며, m = n·r_F로, 임계값에 대해 Deligne의 추측을 확인한다.
• 임계점에서 평가된 아치메데스 주기 적분은 강한 Gelfand 성질을 가정하지 않더라도 Π_∞ 위의 Q(Π)-유리수 함수형을 생성한다.
• 전역 주기 관계는 Galois 호환성이다: 비율 L(s₀,Π⊗χ)/(G(χ̄)^n (2πi)^{j₀r_F n} Ω_{(-1)^{j₀}sgn χ}) 는 Q(Π,χ)에 속한다.
• 각 임계 반정수 s₀ = 1/2 + j₀에 대해 주기 Ω±(Π)는 π₀((F⊗Q R)^×)의 2^{r_F}개의 특성에 의해 인덱싱되며, 이는 아치메데스 자리의 수와 일치한다.
• Π에 부착된 추측되는 모티브 M(Π)는 (p,q) = (μ_{k,v} - k + 2n, μ_{2n+1−k,v} + k − 1)에서 Hodge 수 h_{v}^{p,q} = 1이며, d_v^± = n로, 기대되는 Hodge 구조를 확인한다.
• 비율 Ω_{(-1)^j sgn χ}/(2πi)^{r_F n² c_{(-1)^{j+n} sgn χ}} 는 Q(Π)^×에 속하며, 이는 랭크 1 아르틴 모티브에 대한 Deligne의 추측과 동치이다.