[論文レビュー] On planar self-similar sets with a dense set of rotations

Kemal Ilgar Eroğlu|ArXiv.org|Mar 8, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、定義する相似変換における回転角が $2\pi$ を法として稠密な平面自己相似集合について、その相似次元を $\gamma$ とするとき、直交射影の $\gamma$-次元ヒルベルト・ハウスドルフ測度がゼロであることを証明する。修正された二重化（doubling）の手法と被覆技術を用いて、相似次元が 1 で回転角が $\pi$ のディオファントス的倍数である場合、このような集合の $\rho$-近傍のファヴァール長さに対して対数的減衰の上界を得る。この結果はマティラが提起した問いに答え、このような集合について、指数的減衰より優れた既知の最初の上界を提供する。

ABSTRACT

We prove that if $E$ is a planar self-similar set with similarity dimension $d$ whose defining maps generate a dense set of rotations, then the $d$-dimensional Hausdorff measure of the orthogonal projection of $E$ onto any line is zero. We also prove that the radial projection of $E$ centered at any point in the plane also has zero $d$-dimensional Hausdorff measure. Then we consider a special subclass of these sets and give an upper bound for the Favard length of $E(ρ)$ where $E(ρ)$ denotes the $ρ$-neighborhood of the set $E$.

研究の動機と目的

• 稠密な回転角を持つ平面自己相似集合の直交射影および径向射影の性質を調査すること。
• マティラが提起した、このような集合の直交射影が正の $\gamma$-次元ヒルベルト・ハウスドルフ測度を持つ条件についての問いに応えること。
• 相似次元が 1 でディオファントス的回転角を持つ均一な自己相似集合の $\rho$-近傍のファヴァール長さに対する上界を確立すること。
• 回転対称性が稠密または無理数である自己相似集合における射影挙動の理解を拡張すること。
• 回転構造を持つ不規則な自己相似 1-集合について、ファヴァール長さの指数的減衰より優れた上界を初めて得ること。

提案手法

• 稠密な回転構造を活用するための修正された「二重化」（doubling）法を用い、集合の小さなコピーが多数の方向に一致することを示す。
• 反復関数系における語の集合を、目的の射影方向に近づくものとそうでないものに分割する。
• ヴィタリ被覆定理を適用して、良好に一致するコピーの射影の測度を制御し、$2^{-n}$ の減衰上界を得る。
• 指数的減衰を用いて、不適切に一致するコピーの数を推定し、$e^{-s(n)}$ の上界を得る。
• $s(n)$ と $L_n$ を $\log(-\log \rho_n)$ の形に表現することで、$\rho_n$ と減衰率を関連づけ、対数的減衰上界を得る。
• ディオファントス近似を用いて、回転角が有理数近似を避けるように保証し、減衰率推定に不可欠な条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面自己相似集合の直交射影が、その相似次元 $\gamma$ に対してゼロの $\gamma$-次元ヒルベルト・ハウスドルフ測度を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 定義する相似変換における回転角の稠密性が、射影の構造にどのように影響するか？
• RQ3 相似次元が 1 で無理数的回転角を持つ自己相似集合の $\rho$-近傍のファヴァール長さに対して、非自明な上界を確立できるか？
• RQ4 回転角のディオファントス的性質が、ファヴァール長さの減衰率に果たす役割は何か？
• RQ5 不規則な自己相似 1-集合について、ファヴァール長さの減衰率を指数的減衰より改善することは可能か？

主な発見

• 相似次元 $\gamma$ を持つ任意の自己相似集合 $E$ について、回転角が $2\pi$ を法として稠密である限り、任意の直線への直交射影の $\gamma$-次元ヒルベルト・ハウスドルフ測度はゼロである。
• 平面内の任意の点を中心とする $E$ の径向射影に対しても、$\gamma$-次元ヒルベルト・ハウスドルフ測度はゼロである。
• 相似次元が 1 で、2 つの回転なしの写像とディオファントス的回転を持つ均一な自己相似集合について、$\rho$-近傍の射影のレベーグ測度は、任意の $\theta$ に対して $\mathcal{L}^1(E^\theta(\rho)) \leq \frac{A}{(\log(-\log\rho))^{B}}$ を満たす。
• ファヴァール長さ $\mathcal{F}(E(\rho))$ は $\frac{\pi A}{(\log(-\log\rho))^{B}}$ で上から抑えられ、これは指数的減衰より優れた対数的減衰率を示している。
• 減衰指数 $B$ は、任意の $\delta > 0$ に対して $\frac{1}{(1+\delta)k(d+1)\log m}$ として明示的に推定可能であり、回転角が $(1+\sqrt{2})\pi$ の例では $B = \frac{\log 2}{3.3 \log 3}$ となる。
• この結果により、ファヴァール長さの減衰率が一般の $\exp(-a \log_* (1/\rho))$ の上界を上回る、初めて知られた自己相似集合のクラスが確立された。