[論文レビュー] On Polymorphic Sessions and Functions: A Tale of Two (Fully Abstract) Encodings

Bernardo Toninho, Nobuko Yoshida|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2階直線的命題論理における証明論的双対性を活用して、多相的セッション型を持つπ計算と線形化されたSystem Fとの間で、初めての相互に逆転可能で完全抽象的な符号化を提示する。主な貢献は、強化正規化や帰納的／コインダクティブ型の代数的表現といった性質をλ計算からセッション計算へ移すことができる論理的に根拠付けられた対応関係を確立することにある。

ABSTRACT

This work exploits the logical foundation of session types to determine what kind of type discipline for the pi-calculus can exactly capture, and is captured by, lambda-calculus behaviours. Leveraging the proof theoretic content of the soundness and completeness of sequent calculus and natural deduction presentations of linear logic, we develop the first mutually inverse and fully abstract processes-as-functions and functions-as-processes encodings between a polymorphic session pi-calculus and a linear formulation of System F. We are then able to derive results of the session calculus from the theory of the lambda-calculus: (1) we obtain a characterisation of inductive and coinductive session types via their algebraic representations in System F; and (2) we extend our results to account for value and process passing, entailing strong normalisation.

研究の動機と目的

• 多相的セッションπ計算における高階プロセスと線形System Fにおける関数との間で、正確で完全抽象的な対応関係を確立すること。
• 2階直線的論理における sequent calculus と natural deduction の証明論的双対性を活用して、π計算とλ計算の間の意味論的不一致を解消すること。
• 完全抽象的符号化を通じて、λ計算における既知の結果を応用し、セッション型—たとえば帰納的およびコインダクティブ構造—の性質を導出すること。
• 項およびプロセスの両方の渡しをサポートできるように符号化を拡張し、高階セッション計算における強化正規化および完全抽象性を証明すること。

提案手法

• 2階直線的論理の sequent calculus 表記を用いて、線形Fから多相的セッションπ計算（Polyπ）への関数をプロセスとして符号化する手法を開発する。
• 自然演繹に対する sequent calculus の完全性に基づいて、Polyπから線形Fへのプロセスを関数として符号化する逆方向の符号化を構築する。
• 型付き観察的同値性を用いて、符号化の相互逆転性と完全抽象性を確立し、両方向で動作の同値性が保たれることを保証する。
• System Fにおける初期F代数および終末F余代数の表現を活用し、Polyπにおける帰納的およびコインダクティブセッション型の代数的特徴づけを導出する。
• 項およびプロセスの渡しメカニズムを組み込むことで、符号化を高階プロセス渡しをサポートするように拡張し、1階セッション計算へ適応する。
• System Fにおけるβ簡約の強化正規化を用いて、完全抽象的符号化を通じて高階セッション計算の強化正規化を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多相的セッションπ計算と線形System Fとの間で、完全抽象的かつ相互に逆転可能な符号化を確立できるか？
• RQ2 2階直線的論理における sequent calculus と natural deduction の証明論的双対性を、このような符号化を定義するためにどのように利用できるか？
• RQ3 帰納的およびコインダクティブセッション型は、λ計算における代数的構造（F代数およびF余代数）を介して特徴づけられ、セッション計算へ持ち上げられるか？
• RQ4 符号化を高階プロセスおよび項の渡しをサポートするように拡張できるか。その際、完全抽象性および強化正規化が保たれるか？
• RQ5 関数的計算と並列計算の間の行動的対応関係を特徴づける背後にある論理的および型理論的原則は何か？

主な発見

• 関数をプロセスとして符号化する方法とプロセスを関数として符号化する方法は、型付き観察的同値性に関して互いに逆転可能であり、完全抽象的である。これにより、正確な行動的対応関係が確立される。
• 帰納的およびコインダクティブセッション型は、System Fにおける初期および終末F-(余)代数の符号化を通じて特徴づけられ、再帰的およびコリカーシブなセッション型の論理的基盤が提供される。
• 符号化は、項およびプロセスの両方の渡しをサポートするセッション計算へ自然に拡張可能であり、高階プロセスを1階セッション計算へ完全抽象的埋め込みを可能にする。
• 高階セッション計算の強化正規化は、完全抽象的符号化を通じて、System Fにおける強化正規化の直接的帰結として導出される。
• 本手法は、2階直線的論理の証明論と結びつけることで、セッション型に論理的動機づけを提供し、従来の「命題を型として」の枠組みを一般化する。
• 結果として、セッション計算が「気にしない」非決定的性質を示すことが明らかとなり、論理的調和性と整合し、「知らない」非決定的性質の複雑さを回避する。