[論文レビュー] On Polynilpotent Covering Groups of a Polynilpotent Group

Behrooz Mashayekhy, Mahboobeh Alizadeh Sanati|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2011

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多冪冪等被覆群の非存在に関する十分条件を確立し、冪等および可解被覆群に関する先行結果を一般化する。群 $G$ の $(c_1,\ldots,c_{t+1})$-多冪冪等倍加群が非自明であるならば、$G$ は $(c_1,\ldots,c_{t+1})$-多冪冪等被覆群をもたないことを証明しており、冪等および可解群に関する以前の結果を拡張している。

ABSTRACT

Let ${\cal N}_{c_1,...,c_t}$ be the variety of polynilpotent groups of class row $(c_1,...,c_t)$. In this paper, first, we show that a polynilpotent group $G$ of class row $(c_1,...,c_t)$ has no any ${\cal N}_{c_1,...,c_t,c_{t+1}}$-covering group if its Baer-invariant with respect to the variety ${\cal N}_{c_1,...,c_t,c_{t+1}}$ is nontrivial. As an immediate consequence, we can conclude that a solvable group $G$ of length $c$ with nontrivial solvable multiplier, ${\cal S}_nM(G)$, has no ${\cal S}_n$-covering group for all $n>c$, where ${\cal S}_n$ is the variety of solvable groups of length at most $n$. Second, we prove that if $G$ is a polynilpotent group of class row $(c_1,...,c_t,c_{t+1})$ such that ${\cal N}_{c'_1,...,c'_t,c'_{t+1}}M(G) eq 1$, where $c'_i\geq c_i$ for all $1\leq i\leq t$ and $c'_{t+1}>c_{t+1}$, then $G$ has no any ${\cal N}_{c'_1,...,c'_t,c'_{t+1}}$-covering group. This is a vast generalization of the first author's result on nilpotent covering groups (Indian\ J.\ Pure\ Appl.\ Math.\ 29(7)\ 711-713,\ 1998).

研究の動機と目的

• 与えられた多冪冪等群の系列の種類に関して、多冪冪等群が被覆群を持たない条件を特定すること。
• 冪等および可解被覆群の非存在に関する先行結果を、より広範な多冪冪等群の設定に一般化すること。
• 高階の多冪冪等倍加群が非自明であることに基づく被覆群の不在に関する基準を確立すること。
• $\cal V$-被覆群の理論を、任意のクラス行をもつ多冪冪等群の系列に拡張すること。

提案手法

• Baer不変量（多冪冪等倍加群）${\cal N}_{c_1,\ldots,c_t}M(G)$ の定義を用いる。これは $R \cap \gamma_{c_t+1} \circ \cdots \circ \gamma_{c_1+1}(F) / [R,_{c_1}F,_{c_2}\gamma_{c_1+1}(F),\ldots,_{c_t}\gamma_{c_{t-1}+1}\circ\cdots\circ\gamma_{c_1+1}(F)]$ として与えられる。
• $G^*$ が $G^*/A \simeq G$、$A \simeq {\cal V}M(G)$、$A \subseteq V(G^*) \cap V^*(G^*)$ を満たすとき、$\cal V$-被覆群の概念を適用する。
• 繰り返し下位中心系列の記法を導入する：$\rho_i(G^*) = \gamma_{c_i+1}(\rho_{i-1}(G^*))$ および $\rho'_i(G^*) = \gamma_{c'_i+1}(\rho'_{i-1}(G^*))$ は、クラス行の比較に用いる。
• 繰り返し交換子および下位中心系列項に関する群論的包含関係と恒等式を用いて、倍加群が非自明である場合に矛盾を導出する。
• 除法のアルゴリズムと繰り返し交換子部分群に対する帰納法を用い、$\gamma_c(\rho'_t(G^*)) = 1$ ならば $\rho'_{t+1}(G^*) = 1$ であることを示し、$A \simeq {\cal N}_{c'_1,\ldots,c'_{t+1}}M(G) \neq 1$ と矛盾する。
• 被覆群が存在しない条件を分析するために、境界部分群および語的部分群の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス行 $(c_1,\ldots,c_t)$ の多冪冪等群 $G$ が $\cal N_{c_1,\ldots,c_t,c_{t+1}}$-被覆群を持たない条件は何か？
• RQ2 $(c_1,\ldots,c_t,c_{t+1})$-多冪冪等倍加群の非自明性は、被覆群の存在性とどのように関係するか？
• RQ3 冪等被覆群の非存在結果を、より高いクラス行をもつ多冪冪等群に一般化できるか？
• RQ4 倍加群が非自明で、かつターゲットのクラスが元のクラスを上回る場合、仮想の被覆群にどのような構造的制約が生じるか？
• RQ5 繰り返し下位中心系列および交換子恒等式は、$\cal V$-被覆群の存在をどのように制約するか？

主な発見

• 群 $G$ の $(c_1,\ldots,c_t,c_{t+1})$-多冪冪等倍加群が非自明であるならば、$G$ は $\cal N_{c_1,\ldots,c_t,c_{t+1}}$-被覆群を持たない。
• 長さ $c$ の可解群 $G$ が非自明な可解倍加群 $\cal S_nM(G)$ をもつならば、すべての $n > c$ に対して $\cal S_n$-被覆群を持たない。
• $G$ がクラス行 $(c_1,\ldots,c_t,c_{t+1})$ の多冪冪等群であり、$\cal N_{c'_1,\ldots,c'_{t+1}}M(G) \neq 1$ で、$1 \leq i \leq t$ に対して $c'_i \geq c_i$ かつ $c'_{t+1} > c_{t+1}$ であるならば、$G$ は $\cal N_{c'_1,\ldots,c'_{t+1}}$-被覆群を持たない。
• 証明は、仮想の被覆群における正規部分群 $A$ が自明でなければならないことを示すことで矛盾を導き、$A \simeq \cal N_{c'_1,\ldots,c'_{t+1}}M(G) \neq 1$ と矛盾する。
• $c'_{t+1} > c_{t+1}$ であることが本質的であり、$c'_{t+1} = c_{t+1}$ の場合には反例が存在するため、非自明な倍加群が常に被覆群の存在を妨げるわけではない。
• この結果は、最初の著者が行った冪等被覆群に関する先行作業を一般化し、$\cal V$-被覆群の理論を多冪冪等の系列に拡張する。