[論文レビュー] On pro-p fundamental groups of marked arithmetic curves

Alexander Schmidt|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の局所体 $k$、奇素数 $p \neq \mathrm{char}(k)$、および互いに素な有限集合 $S$、$T$、$M$（$M$ はディリクレ密度 0）に対して、$S \cup T \cup M$ と素な有限素数集合 $S_0$ が存在し、そのような $S_0$ を用いて構成される $p$-進ガロア群 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ が、コhomological次元 2、全射カップ積、すべての $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ における局所 $p$-拡張の実現、および分解群の自由積構造を持つことを確立する。これにより、類数や单位根に関する従来の制限が排除される。

ABSTRACT

Let k be a global field, p an odd prime number different from char(k) and S, T disjoint, finite sets of primes of k. Let G_S^T(k)(p)=Gal(k_S^T(p)|k) be the Galois group of the maximal p-extension of k which is unramified outside S and completely split at T. We prove the existence of a finite set of primes S_0, which can be chosen disjoint from any given set M of Dirichlet density zero, such that the cohomology of G_{S\cup S_0}^T(k)(p) coincides with the etale cohomology of the associated marked arithmetic curve. In particular, cd G_{S\cup S_0}^T(k)(p)=2. Furthermore, we can choose S_0 in such a way that k_{S\cup S_0}^T(p) realizes the maximal p-extension k_\p(p) of the local field k_\p for all \p\in S\cup S_0, the cup-product H^1(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) \otimes H^1(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) --> H^2(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) is surjective and the decomposition groups of the primes in S establish a free product inside G_{S\cup S_0}^T(k)(p). This generalizes previous work of the author where similar results were shown in the case T=\emptyset under the restrictive assumption p mid Cl(k) and ζ_p otin k.

研究の動機と目的

• 類数に関する制限的仮定 $p \nmid \#\mathrm{Cl}(k)$ や $\zeta_p \notin k$ を取り除くことで、算術的曲線の $p$-進基本群に関する先行研究を一般化すること。
• 任意の局所体 $k$、有限集合 $S$、$T$、およびディリクレ密度 0 の集合 $M$ に対して、$S \cup T \cup M$ と素な有限個の素数 $S_0$ を付加することで、望ましいコhomologicalおよびガロア理論的性質を達成できることを示すこと。
• 群 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ のコhomology が、マークされた算術的曲線 $X \setminus (S \cup S_0), T$ のエタールコhomology と一致することを確立し、$\mathrm{cd} = 2$ を示すこと。
• $S$ に属する素点の分解群が、$G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 内で自由積をなすこと、および各 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ において最大の $p$-拡張を実現することを証明すること。
• Hochschild-Serre 譜系の辻境準同型がすべての $i \geq 0$ で同型であることを示し、群コhomology がマークされた算術的曲線のエタールコhomology と一致することを確認することで、$K(\pi,1)$-性質を裏付けること。

提案手法

• クラス体論と局所双対性を用いて、$\mathcal{M}$ がディリクレ密度 0 であるような $S \cup T \cup \mathcal{M}$ と素な有限素数集合 $S_0$ を構成する。
• mild な $p$-進群の理論と $K(\pi,1)$-性質を用いて、コhomological次元とカップ積構造を制御する。
• 切除法と局所双対性定理を適用し、Hochschild-Serre 譜系における辻境準同型が同型であることを示し、群コhomology とマークされた曲線のエタールコhomology を結びつける。
• 主理想定理とブラウアー群のハッセの原理を活用し、特に双対性群の検証における $D_0$ と $D_1$ のコhomology 項の消滅を示す。
• 群 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ がコhomological次元 2 の $p$-進双対性群であることを証明し、$\mathrm{cd} = 2$ および双対コhomology 項 $D_0$ と $D_1$ の消滅を示す。
• 群の自然な準同型が局所ガロア群の自由 $p$-進積からグローバル群への写像として同型であることを用いて、分解群の自由積構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 類数に関する仮定 $p \nmid \#\mathrm{Cl}(k)$ や $\zeta_p \notin k$ を仮定しない限り、$G_{S}^T(k)(p)$ のコhomological次元を 2 にできるか？
• RQ2 ディリクレ密度 0 の集合 $\mathcal{M}$ に対して、$S \cup T \cup \mathcal{M}$ と素な有限個の素数 $S_0$ を付加することで、$G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ がすべての $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ において局所 $p$-拡張を実現できるか？
• RQ3 このような $S_0$ を加えた後、カップ積 $H^1 \otimes H^1 \to H^2$ が全射になるか？
• RQ4 $S$ に属する素点の分解群が、$G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 内で自由積をなすことを示せるか？
• RQ5 Hochschild-Serre 譜系における辻境準同型が同型になるか？ これにより、群コhomology がマークされた算術的曲線のエタールコhomology と一致する。

主な発見

• 任意の局所体 $k$、奇素数 $p \neq \mathrm{char}(k)$、および互いに素な有限集合 $S$、$T$、$\mathcal{M}$（$\mathcal{M}$ はディリクレ密度 0）に対して、$S \cup T \cup \mathcal{M}$ と素な有限集合 $S_0$ が存在し、$G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ はコhomological次元 2 を持つ。
• カップ積 $H^1(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p) \otimes H^1(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p) \to H^2(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p)$ は全射である。
• 拡張 $k_{S \cup S_0}^T(p)$ は、すべての $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ に対して局所体 $k_{\mathfrak{p}}$ の最大の $p$-拡張 $k_{\mathfrak{p}}(p)$ を実現する。
• 集合 $S$ に属する素点の分解群は、$G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 内で自由積をなし、自然な準同型が局所ガロア群の自由 $p$-進積からグローバル群への同型である。
• 任意の離散的 $p$- torsion $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$-加群 $M$ に対して、Hochschild-Serre 譜系の辻境準同型がすべての $i \geq 0$ で同型であり、群コhomology がマークされた算術的曲線のエタールコhomology と一致することを確認する。
• やや弱い条件下で、群 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ はコhomological次元 2 の $p$-進双対性群であり、双対化モジュールは $k_{S}^T(p)$ の $S$-$T$-イデール類群の $p$- torsion 部分と同型である。