[論文レビュー] On Properties of Differential Inclusions with Prox-regular Sets

Ba Khiet Le|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Mathematical Control Systems and Analysis参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における一様に近接正則な集合の法線錐を含む微分包含の解の正則性および漸近的性質を確立する。ベクトル場に接線条件を要求しない。解は右微分可能であり、その導関数は右連続であることが証明され、勾配類のシステムに対してリャプノフ型収束結果が得られ、$C^{1,+}$ポテンシャル関数が集合上で最小化されることを示す。

ABSTRACT

In this paper, some regularity properties of solutions of the following differential inclusion \begin{equation} onumber \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}(t) \in f\big(x(t)\big) -N_{C}\big(x(t)\big)\; { m a.e.} \; t \in [0,+\infty), x(0) = x_0\in C, \end{array} ight. \end{equation} are analyzed where $f: H o H$ is Lipschitz continuous and $C$ is closed, uniformly prox-regular subset of a Hilbet space $H$. Here $N_{C}(\cdot)$ denotes the proximal normal cone of $C$. This work can be considered as an improvement of [Hantoute-Mazade 2013] since these properties are established without the additional tangential condition at each point in $C$.

研究の動機と目的

• 一様に近接正則な集合の法線錐を含む微分包含の解の正則性特性を分析すること。
• 接線条件を要求しないで、解の右微分可能性および導関数の右連続性を確立すること。
• ベクトル場が $C^{1,+}$ 関数の負の勾配である場合、解の漸近的挙動を調査すること。
• 凸性および有界性の仮定の下で、解が集合上でのポテンシャル関数の下界に収束することを示すこと。

提案手法

• 近接正則集合およびヒルバート空間における法線錐の理論、特に極限法線錐 $N(C,x)$ に依拠する。
• 近似法線錐および距離射影の性質を用いて、解が局所的に絶対連続であり、右微分可能であることを示す。
• 微分包含の構造および $f$ のリプシッツ連続性により、導関数 $\dot{x}^+(t)$ が右連続であることを証明する。
• 漸近的解析のため、システムを $\dot{x}(t) \in -\nabla V(x(t)) - N(C,x(t))$ と再定式化し、$V(x(t))$ の時間微分を計算して、ほとんど everywhere で $\frac{d}{dt}V(x(t)) + \|\dot{x}(t)\|^2 = 0$ を得る。
• $\varphi(t) = \frac{1}{2}\|x(t)-y\|^2$ にグロンウォールの不等式を適用し、$r$-近接正則性および $V$ の凸性の下で収束バウンドを導出する。
• ほとんど everywhere で $\dot{x}(t) + \nabla V(x(t)) \in -N(C,x(t))$ であるという事実を用い、$C$ の点への距離に関する劣勾配不等式を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル場 $f$ がリプシッツ連続で $C$ が一様に近接正則な場合、微分包含 $\dot{x}(t) \in f(x(t)) - N_C(x(t))$ の解は右微分可能であり、その導関数は右連続であるか？
• RQ2 接線条件 $f(x) \in T(C,x)$ を課さずに、解の正則性特性を確立できるか？
• RQ3 ベクトル場 $f(x) = -\nabla V(x)$ で $V$ が $C^{1,+}$ の場合、解の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 解が $C$ 上での $V$ の下界に収束するための条件は何か？

主な発見

• 解 $x(\cdot)$ は $[0,\infty)$ 上で右微分可能であり、各 $t \geq 0$ で $\dot{x}^+(\cdot)$ は右連続である。
• 関数 $V$ が $C^{1,+}$ で $f(x) = -\nabla V(x)$ の場合、ほとんど everywhere で $\frac{d}{dt}V(x(t)) + \|\dot{x}(t)\|^2 = 0$ が成り立つ。
• $V$ が強凸であるならば、$x(\cdot)$ は $[0,\infty)$ 上で有界である。
• $V$ が $C$ 上で下から有界であるならば、$\lim_{t \to \infty} V(x(t)) = V_\infty$ が存在し、$\int_0^\infty \|\dot{x}(s)\|^2 ds = V(x_0) - V_\infty$ が成り立つ。
• $V$ が凸かつ $C$ 上で下から有界であるならば、$V_\infty = \inf_{y \in C} V(y)$ であるため、軌道は $C$ 上で $V$ を最小化する。