[논문 리뷰] On properties of the Generalized Wasserstein distance

Benedetto Piccoli, Francesco Rossi|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 질량 이동과 질량 생성/소멸을 가중치로 조합함으로써 최적 운반과 총변동량을 통합하는 일반화된 워셔스타인 거리 $W_{p}^{a,b}$를 도입하고 분석한다. 두 가지 핵심 결과를 확립한다: 운동 에너지와 소스 항을 포함하는 작용 함수와 연결된 $W_2^{a,b}$를 설명하는 일반화된 벤아무-브레니에 공식, 그리고 $W_1^{1,1}$이 평탄한 거리와 일치함을 보여주는 캄토로비치-루빈스타인 유형의 이중성으로, 고전적 이중성의 질량 변화를 고려한 확장이다.

ABSTRACT

The Wasserstein distances $W_p$ ($p\geq 1$), defined in terms of solution to the Monge-Kantorovich problem, are known to be a useful tool to investigate transport equations. In particular, the Benamou-Brenier formula characterizes the square of the Wasserstein distance $W_2$ as the infimum of the kinetic energy, or action functional, of all vector fields moving one measure to the other. Another important property of the Wasserstein distances is the Kantorovich-Rubinstein duality stating the equality between the distance $W_1$ and the supremum of the integrals of Lipschitz continuous functions with Lipschitz constant bounded by one. An intrinsic limitation of Wasserstein distances is the fact that they are defined only between measures having the same mass. To overcome such limitation, we recently introduced the generalized Wasserstein distances $W_p^{a,b}$, defined in terms of both the classical Wasserstein distance $W_p$ and the total variation (or $L^1$) distance. Here $p$ plays the same role as for the classic Wasserstein distance, while $a$ and $b$ are weights for the transport and the total variation term. In this paper we prove two important properties of the generalized Wasserstein distances: 1) a generalized Benamou-Brenier formula providing the equality between $W_2^{a,b}$ and the supremum of an action functional, which includes a transport term (kinetic energy) and a source term. 2) a duality à la Kantorovich-Rubinstein establishing the equality between $W_1^{1,1}$ and the flat metric.

연구 동기 및 목표

• 고전적 워셔스타인 거리의 핵심 제한사항인 총질량이 다를 수 있는 측도를 允허하는 워셔스타인 거리 프레임워크를 확장하기 위해.
• 가중치 $a$와 $b$를 통해 운반 비용과 총변동량 비용을 균형 잡은 일반화된 거리 $W_p^{a,b}$를 정의하기 위해.
• 운반과 소스 항을 모두 포함하는 작용 함수를 포함한 $W_2^{a,b}$에 대한 일반화된 벤아무-브레니에 공식을 수립하기 위해.
• 질량이 다를 수 있는 측도에 대해 $W_1^{1,1}$에 대한 이중성 결과를 증명하여, 이는 캄토로비치-루빈스타인 정리의 질량 변화를 고려한 확장이다.

제안 방법

• 총질량이 같은 중간 측도 $\tilde{\mu}, \tilde{\nu}$에 대한 최소화 문제의 $p$제곱근으로 일반화된 워셔스타인 거리 $W_p^{a,b}\left(\nu_0, \nu_1\right)$를 정의한다.
• 소스 비용과 운반 비용을 조합한 일반화된 작용 함수 $\mathcal{B}^{a,b}[\mu, v, h] = a^2 \left( \int_0^1 \|h_t\|_{TV} dt \right)^2 + b^2 \int_0^1 \int |v_t|^2 d\mu_t dt$를 제안한다.
• 최적의 작용에 수렴하는 근사해 $(\mu^k, v^k, h^k)$의 수열을 구성함으로써 일반화된 벤아무-브레니에 공식을 증명한다.
• 운동 에너지 항 $|m_t|^2 / \rho_t$의 볼록성과 정규화를 통한 극한 추론을 통해 결과를 $L^2$ 벡터장으로 확장한다.
• 다음과 같이 $W_1^{1,1}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) \, : \, \|f\|_{Lip} \leq 1, \|f\|_{C^0} \leq 1 \right\}$를 보여 이중성을 확립함으로써 평탄한 거리와의 동치성을 증명한다.
• 최적 운반 이론에서 알려진 결과들, 예를 들어 최적 매핑의 존재성과 표준 벤아무-브레니에 공식을 활용하여 일반화된 이론을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 질량이 보존되지 않는 비영인 소스 항이 있는 측도 역학에 대해, 벤아무-브레니에 공식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 워셔스타인 거리 $W_2^{a,b}$는 운반과 소스 항을 모두 포함하는 변분 특성화를 갖는가?
• RQ3 질량이 다를 수 있는 측도에 대해, 캄토로비치-루빈스타인 정리와 유사한 $W_1^{1,1}$에 대한 이중성 결과가 존재하는가?
• RQ4 일반화된 거리 $W_p^{a,b}$는 질량 생성과 운반 비용을 모두 포함하는 적절한 작용 함수의 하한으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 일반화된 거리가 $a = b = 1$일 때 평탄한 거리와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 일반화된 워셔스타인 거리 $W_1^{1,1}(\mu, \nu)$는 정확히 평탄한 거리와 일치하며, 이는 질량이 다를 수 있는 측도에 대해 캄토로비치-루빈스타인 정리와 유사한 이중성을 확립한다.
• 일반화된 벤아무-브레니에 공식이 성립한다: $T_2^{a,b}(\mu_0, \mu_1) = \inf \left\{ \mathcal{B}^{a,b}[\mu, v, h] \ \middle| \ \partial_t \mu_t + \nabla \cdot (v_t \mu_t) = h_t, \ \mu_0, \mu_1 \text{ 고정} \right\}$, 여기서 $\mathcal{B}^{a,b}$는 소스 비용과 운반 비용을 조합한다.
• 작용 함수 $\mathcal{B}^{a,b}$는 변수 $\mu_t, v_t, h_t$에 대해 볼록하므로 변분 방법을 적용할 수 있다.
• 일반화된 거리 $W_2^{a,b}$는 소스가 있는 연속 방정식의 모든 해에 대해 작용 함수 $\mathcal{B}^{a,b}$의 하한으로 특징지워진다.
• 근사해 수열 $(\mu^k, v^k, h^k)$는 $\lim_{k \to \infty} \mathcal{B}^{a,b}[\mu^k, v^k, h^k] \leq (1 - 2^{-k+1})^{-1} T_2^{a,b}(\mu_0, \mu_1)$를 만족하며, 최적 값으로 수렴함을 증명한다.
• 일반화된 거리 $W_p^{a,b}$는 $a = 0$일 때 표준 워셔스타인 거리 $W_p$로 축소되며, $b = 0$일 때 총변동량 거리로 축소됨을 보여, 고전적 경우와의 일致성을 입증한다.