[論文レビュー] On q-deformed infinite-dimensional n-algebra

Ding Lu, Xiao-Yu Jia+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子平面におけるq-変形Virasoro-Wittおよび擬微分作用素を用いて、q-変形された無限次元n-代数を構築し、偶数nに対してそれらがsh-n-Lie代数をなすことを証明する。また、(co)正弦n-代数およびq-変形SDiff(T²) n-代数を導入し、磁気翻訳作用素による明示的な物理的実現を示す。

ABSTRACT

The $q$-deformation of the infinite-dimensional $n$-algebra is investigated. Based on the structure of the $q$-deformed Virasoro-Witt algebra, we derive a nontrivial $q$-deformed Virasoro-Witt $n$-algebra which is nothing but a sh-$n$-Lie algebra. Furthermore in terms of the pseud-differential operators on the quantum plane, we construct the (co)sine $n$-algebra and the $q$-deformed $SDiff(T^2)$ $n$-algebra. We prove that they are the sh-$n$-Lie algebras for the case of even $n$. An explicit physical realization of the (co)sine $n$-algebra is given.

研究の動機と目的

• 標準的なn-Lie代数の公理が成り立たないが、sh-n-Lie代数の公理を満たす非自明なq-変形された無限次元n-代数を構築すること。
• q-変形Virasoro-Witt n-代数の構造と性質、およびそれらがsh-n-Lie代数とどのように関係するかを調査すること。
• 正弦代数の構成を高次nへ一般化し、量子平面における擬微分作用素を用いて(co)正弦n-代数を導入すること。
• (co)正弦n-代数の明示的物理的実現を、磁気翻訳作用素を用いて行うこと。
• 導来されたsh-n-Lie代数に中心拡大が存在するかを調査し、適切なスター積が奇数nにおけるsh-Jacobi恒等式を拡張できるかを検討すること。

提案手法

• q-変形ガウス微分作用素と特定のスター積を用いて、sh-Jacobi恒等式を満たすq-変形Virasoro-Witt n-代数を構築する。
• 量子平面における擬微分作用素を適用して、(co)正弦n-代数およびq-変形SDiff(T²) n-代数を定義する。
• 古典的極限α → 0を分析するためにスケーリングされた生成子を導入し、それがゼロn-代数に収束することを示す。
• 基本恒等式(FI)とsh-Jacobi恒等式を用いて代数的整合性を検証し、偶数nに対して明示的な検証を実施する。
• q-bracketにおけるスター積を用いて、q-変形構造における閉包性と整合性を保証する。
• (co)正弦n-代数の物理的実現を磁気翻訳作用素を用いて行い、抽象的代数と量子系を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なq-変形された無限次元n-代数を構築可能か。ただし、標準的n-Lie代数の公理は満たさず、sh-Jacobi恒等式のみを満たすものとする。
• RQ2 量子平面における擬微分作用素を用いて構築された(co)正弦n-代数は、偶数nに対してsh-n-Lie代数をなすか。
• RQ3 磁気翻訳作用素のような量子力学的演算子を用いて、(co)正弦n-代数に物理的実現が可能か。
• RQ4 q-変形SDiff(T²) n-代数において、奇数nにおけるsh-Jacobi恒等式を拡張できる適切なスター積が存在するか。
• RQ5 導来されたsh-n-Lie代数に中心拡大が存在するか。存在する場合、その構造はいかなるものか。

主な発見

• q-変形Virasoro-Witt n-代数はすべてのnに対してsh-n-Lie代数であり、sh-Jacobi恒等式を満たすが、基本恒等式を満たさない。
• (co)正弦n-代数は偶数nに対してsh-n-Lie代数であり、量子平面における擬微分作用素による明示的構成が可能である。
• q-変形SDiff(T²) n-代数は偶数nに対してsh-Jacobi恒等式を満たし、その構造がsh-n-Lie代数であることが確認された。
• n = 3の場合、正弦3-代数はフィリッポフ3-代数である。n = 5の場合、余弦5-代数はsh-5-Lie代数である。
• (co)正弦n-代数の明示的物理的実現が磁気翻訳作用素を用いて達成され、抽象的代数と量子系が結びつけられた。
• 極限α → 0において、スケーリングされた(co)正弦n-代数はゼロn-代数に収束し、古典的極限と整合していることが確認された。