[論文レビュー] On refined conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer type for Hasse-Weil-Artin L-series

David Burns, Daniel Macias Castillo|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 78被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の数体上のアーベル多様体のハッセ＝ヴェイユ＝アルチンL関数に対して、デリーニ＝グロスの予想による実数的不変量と、マズール＝テイトの双拡張高さペアリングによるp進合同関係を統合する、洗練された Birch and Swinnerton-Dyer 予想を定式化する。これは等置的 Tamagawa 数予想との深い関係を確立し、特別な場合において理論的および数値的証拠を提供するとともに、ヘーゲナー点に関するブラッドショーとシュタインの予想における不整合を是正する。

ABSTRACT

We consider refined conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer type for the Hasse-Weil-Artin L-series of abelian varieties over general number fields. We shall, in particular, formulate several new such conjectures and establish their precise relation to previous conjectures, including to the relevant special case of the equivariant Tamagawa number conjecture. We also derive a wide range of concrete interpretations and explicit consequences of these conjectures that, in general, involve a thoroughgoing mixture of difficult archimedean considerations related to refinements of the conjecture of Deligne and Gross and delicate p-adic congruence relations that involve the bi-extension height pairing of Mazur and Tate and are related to key aspects of non-commutative Iwasawa theory. In important special cases we provide strong evidence, both theoretical and numerical, in support of the conjectures. We also point out an inconsistency in a conjecture of Bradshaw and Stein regarding Zhang's Theorem on Heegner points and suggest a possible correction.

研究の動機と目的

• 一般の数体上のアーベル多様体のハッセ＝ヴェイユ＝アルチンL関数に対して、新たな洗練された Birch and Swinnerton-Dyer 予想を定式化すること。
• これらの洗練された予想と等置的 Tamagawa 数予想との関係を明確にすること。
• マズールとテイトの双拡張高さペアリングに関連する、実数的周期とp進合同関係を含む明示的結果を導出すること。
• 重要な特別な場合において、予想に対する理論的および数値的証拠を提供すること。
• ヘーゲナー点に関するブラッドショーとシュタインの予想における不整合を特定・是正すること。

提案手法

• 著者たちは、セレマー複体（特に Nekovář-セレマー複体と完全セレマー構造）を用いて、算術的不変量を符号化するグローバルなガロアコhomology的対象を構成する。
• 群環コhomologyにおける導来カテゴリ構成を介して、ボクシュタインペアリングを導入し、コhomology群とガロアモジュール構造を結びつける。
• 周期とガロア＝ガウス和を用いて、L関数の特別値と実数的不変量との関係を確立する。
• Poitou-Tate双対性と明示的複体を用いて、ガロアコhomologyにおける局所的・グローバルな双対性を関係づける。
• 対数的解体と明示的レジスタ行列を介して、古典的およびp進レジスタを統合するフレームワークを構築する。
• 特にマズールとテイトの双拡張ペアリングを通じて、p進L値と高さペアリングの間の合同関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハッセ＝ヴェイユ＝アルチンL関数の文脈において、実数的およびp進不変量の両方を考慮するように、Birch and Swinnerton-Dyer 予想をどのように洗練できるか？
• RQ2 洗練されたBSD予想と等置的Tamagawa数予想との間の正確な関係は何か？
• RQ3 マズールとテイトの双拡張高さペアリングとp進合同関係は、特別なL関数値の文脈でどのように相互作用するか？
• RQ4 洗練された予想は、アーベル多様体の非可換Iwasawa理論をどのように反映するか？
• RQ5 張の定理に基づくヘーゲナー点に関するブラッドショーとシュタインの予想に対して、どのような是正が必要か？

主な発見

• 本稿は、デリーニ＝グロス型の予想による実数的周期と、マズール＝テイトの双拡張高さペアリングを含むp進合同関係を統合する、新たな洗練されたBSD予想を定式化する。
• 著者たちは、洗練された予想が古典的BSD予想を含み、関連する設定において等置的Tamagawa数予想と整合することを証明する。
• レジスタ、Tamagawa数、ガロアモジュール構造を用いて、L関数の主要項に関する明示的予測を導出する。
• p^mを法とする還元において、ボクシュタインペアリングの整合性結果を確立し、p進および整数コhomology的不変量を結びつける。
• ブラッドショーとシュタインの予想について、彼らが提示した合同関係が張の定理と整合しないことから、是正を提案する。
• 特にモジュラーなアーベル多様体などの重要なケースでは、理論的導出と数値的証拠の両方によって、予想が支持される。