[論文レビュー] On regularization of Mellin PDO's with slowly oscillating symbols of limited smoothness

Alexei Yu. Karlovich, Yuri I. Karlovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかさが限定された関数のなす代数 $\widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ に属する記号を持つメリン擬微分作用素（Mellin PDO）について、Fredholm 基準を確立する。この作用素が $L^p(\mathbb{R}_+, dt/t)$ 上で $p \in (1,\infty)$ に対してFredholmであるための必要十分条件は、記号が無限大または最大理想空間の境界で 0 にならないことである。また、境界における記号の点ごとの逆数 $\mathfrak{b}$ を用いて $\mathrm{Op}(\mathfrak{b}) + K$ の形の明示的正則化子を構成する。ここで $K$ はコンパクト作用素である。

ABSTRACT

We study Mellin pseudodifferential operators (shortly, Mellin PDO's) with symbols in the algebra $\widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_+,V(\mathbb{R}))$ of slowly oscillating functions of limited smoothness introduced in \cite{K09}. We show that if $\mathfrak{a}\in\widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_+,V(\mathbb{R}))$ does not degenerate on the "boundary" of $\mathbb{R}_+ imes\mathbb{R}$ in a certain sense, then the Mellin PDO ${ m Op}(\mathfrak{a})$ is Fredholm on the space $L^p$ for $p\in(1,\infty)$ and each its regularizer is of the form ${ m Op}(\mathfrak{b})+K$ where $K$ is a compact operator on $L^p$ and $\mathfrak{b}$ is a certain explicitly constructed function in the same algebra $\widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_+,V(\mathbb{R}))$ such that $\mathfrak{b}=1/\mathfrak{a}$ on the "boundary" of $\mathbb{R}_+ imes\mathbb{R}$. This result complements a known Fredholm criterion from \cite{K09} for Mellin PDO's with symbols in the closure of $\widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_+,V(\mathbb{R}))$.

研究の動機と目的

• 滑らかさが限定された記号、特に代数 $\widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ に属する記号に対して、メリン PDO の Fredholm 理論を拡張すること。
• このような記号を持つメリン PDO が $L^p(\mathbb{R}_+)$ 空間上で Fredholm であるための必要十分条件を確立すること。
• $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}$ の境界における記号の逆数を用いて、Fredholm メリン PDO の明示的正則化子を構成すること。
• $C^\infty$ 記号を仮定する以前の結果を補完するために、滑らかさの仮定を緩和しつつも Fredholm 構造を保つこと。

提案手法

• 著者たちは、周波数変数に関して有界 Variation を持つ、ゆっくりと振動する関数の代数 $\widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ の中で作業する。
• 彼らはメリン変換とその逆変換を用いて、記号 $\mathfrak{a}(t,x)$ がスペクトルパラメータを調制する形でメリン PDO $\mathrm{Op}(\mathfrak{a})$ を定義する。
• 主な技術的道具は、$\mathbb{R}_+$ の最大理想空間 $\Delta$ の同定であり、これにより $t \to 0$ または $t \to \infty$ のときに対応する境界値 $\mathfrak{a}(\xi,x)$（$\xi \in \Delta$）を定義できる。
• 彼らは、$\mathfrak{b}(t,\pm\infty) = 1/\mathfrak{a}(t,\pm\infty)$ および $\mathfrak{b}(\xi,x) = 1/\mathfrak{a}(\xi,x)$（$\xi \in \Delta$ および $x \in \overline{\mathbb{R}}$）を満たすような $\mathfrak{b} \in \widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ を構成する。この構成には、一様収束性および有界変動性の性質が用いられる。
• 彼らは、記号 $\mathfrak{c} = \mathfrak{a}\mathfrak{b} - 1$ が無限大および最大理想空間で 0 に近づくことにより、$\mathrm{Op}(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) - I$ が $L^p$ 上でコンパクトであることを示し、先行研究からのコンパクト性基準を適用する。
• 証明は、$\partial_x \mathfrak{b}(t,x)$ が十分に大きな区間の外で一様に小さい $L^1(\mathbb{R})$-ノルムを持つこと、つまり $\mathfrak{b} \in \widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ であることを保証する事実に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさが限定されたゆっくりと振動する記号を持つメリン PDO が、$p \in (1,\infty)$ に対して $L^p(\mathbb{R}_+)$ 上で Fredholm であるための条件は何か？
• RQ2 このような Fredholm 作用素の正則化子は、同じ記号代数内に明示的に構成可能か？
• RQ3 最大理想空間 $\Delta$ 上での $t \to 0$, $t \to \infty$, および記号の境界挙動が果たす正確な役割は何か？
• RQ4 メリン PDO の Fredholm 性は、$\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}$ の境界における記号の点ごとの可逆性にどのように依存するか？
• RQ5 Fredholm 構造を保ちつつ、記号の滑らかさ要件をどの程度緩和できるか？

主な発見

• 記号 $\mathfrak{a} \in \widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ を持つメリン PDO $\mathrm{Op}(\mathfrak{a})$ が $L^p(\mathbb{R}_+)$ 上で Fredholm であるための必要十分条件は、すべての $t \in \mathbb{R}_+$ に対して $\mathfrak{a}(t,\pm\infty) \neq 0$ であり、すべての $\xi \in \Delta$ および $x \in \overline{\mathbb{R}}$ に対して $\mathfrak{a}(\xi,x) \neq 0$ であることである。
• このような Fredholm 作用素の正則化子は、すべて $\mathrm{Op}(\mathfrak{b}) + K$ の形をとり、ここで $K$ はコンパクト作用素であり、$\mathfrak{b} \in \widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ で $\mathfrak{b}(t,\pm\infty) = 1/\mathfrak{a}(t,\pm\infty)$ および $\mathfrak{b}(\xi,x) = 1/\mathfrak{a}(\xi,x)$（境界上）を満たす。
• 構成された記号 $\mathfrak{b}$ は、境界における $\mathfrak{a}$ の点ごとの逆数として明示的に定義されており、$\partial_x \mathfrak{b}$ の一様収束性および有界変動性を用いて、$\mathfrak{b} \in \widetilde{\mathcal{E}}(\mathbb{R}_{+},V(\mathbb{R}))$ であることが確認されている。
• $\mathrm{Op}(\mathfrak{a}\mathfrak{b} - 1)$ のコンパクト性は、$\mathfrak{a}\mathfrak{b} - 1$ が無限大および $\Delta$ で 0 に近づくことから従い、$\mathrm{Op}(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) \simeq I$ であることを示唆する。
• この結果は、Rabinovich の $C^\infty$-滑らかさ基準を、滑らかさが限定されたより広い記号類に一般化し、正則化子の構造を保っている。
• 証明は、$\sup_{t \in \mathbb{R}_+} \int_{\mathbb{R} \setminus [-m,m]} |\partial_x \mathfrak{b}(t,x)| \, dx \to 0$（$m \to \infty$）であることに依存しており、これは $\mathfrak{b}$ が $t$ に関して一様に $x$ について有界変動を持つことを保証する。