[論文レビュー] ON RELATIONS BETWEEN URBANIK AND MEHLER SEMIGROUPS

Zbigniew J. J U R E K|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、作用素自己分解可能測度がバナッハ空間上の有界線形作用素の一般化メーラー半群を誘導することを確立し、それらをリーヴィ過程に関する関数値作用素の確率積分として表現する。主な貢献は、一般化メーラー半群をヒルバート空間からバナッハ空間へ拡張し、その確率積分表現について新たな証明を与えることにある。

ABSTRACT

It is shown that operator-selfdecomposable measures or, more precisely, their Urbanik decomposability semigroups induce general- ized Mehler semigroups of bounded linear operators. Moreover, those semi- groups can be represented as random integrals of operator valued functions with respect to stochastic Levy processes. Our Banach space setting is in contrast with the Hilbert spaces on which so far and most often the general- ized Mehler semigroups were studied. Furthermore, we give new proofs of the random integral representation.

研究の動機と目的

• ウルバニク分解可能性半群と一般化メーラー半群の関係を調査すること。
• 一般化メーラー半群の理論をヒルバート空間からバナッハ空間へ拡張すること。
• これらの半群を関数値作用素とリーヴィ過程に関する確率積分として新たな表現を与えること。
• 一般化メーラー半群の確率積分表現について、新たな証明を提供すること。

提案手法

• 作用素自己分解可能測度を用いて、基盤となる半群構造を生成すること。
• 一般化メーラー半群をバナッハ空間上の有界線形作用素として定義すること。
• 確率的リーヴィ過程に関する関数値作用素の確率積分を用いて半群を表現すること。
• ヒルバート空間設定とは異なり、バナッハ空間の枠組みにおいて関数解析的技法を適用すること。
• 測度論的および作用素論的議論を用いて、ウルバニク半群と導かれる一般化メーラー半群の関係を確立すること。
• バナッハ空間の設定を用いて、確率積分表現の代替的で厳密な証明を提供すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素自己分解可能測度は、バナッハ空間における一般化メーラー半群とどのように関係するか？
• RQ2 一般化メーラー半群は、バナッハ空間において関数値作用素の確率積分として表現可能か？
• RQ3 リーヴィ過程は、このような半群の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 この文脈において、バナッハ空間の枠組みはヒルバート空間設定とどのように異なるか？
• RQ5 これらの半群の確率積分表現に関する新証明の意味は何か？

主な発見

• 作用素自己分解可能測度は、バナッハ空間上の有界線形作用素の一般化メーラー半群を誘導する。
• 一般化メーラー半群は、確率的リーヴィ過程に関する関数値作用素の確率積分として表現可能である。
• 半群はバナッハ空間の枠組みで構築されており、これまでのヒルバート空間に限局した結果を拡張している。
• 本稿は、これらの半群の確率積分表現について、新たな独立した証明を提供している。
• この枠組みにより、関数値確率積分を介して、ウルバニク分解可能性半群と一般化メーラー半群の直接的な関連が確立される。