[論文レビュー] On Relative Ranks of the Semigroup of Orientation-preserving Transformations on Infinite Chains

Ilinka Dimitrova, Jörg Koppitz|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2020

semigroups and automata theory参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、無限の鎖 X 上の方向を保つ変換の半群 OP(X) と、順序を保つ変換の部分半群 O(X) との間の相対的ランクを決定する。順序同型と巧みに構築された変換を用いて、著者たちは OP(X) が O(X) と追加の1つの方向を保つ変換 γ∗ によって生成されることを証明し、rank(OP(X) : O(X)) = 1 であることを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we determine the relative rank of the semigroup OP(X) of all orientation-preserving transformations on infinite chains modulo the semigroup O(X) of all order-preserving transformations.

研究の動機と目的

• 無限の鎖 X 上の方向を保つ変換の半群 OP(X) と、順序を保つ変換の部分半群 O(X) との間の相対的ランクを決定すること。
• 特に、グローバルランクが非可算であるような無限変換半群における生成集合の理解を拡張すること。
• 順序同型とイデアル構造を用いて、有限鎖に関する方向を保つ変換の結果を無限の設定に一般化すること。
• O(X) から OP(X) を生成するために、1つの追加変換で十分であることを確立すること。これは、両方の半群が非可算であるにもかかわらず成り立つ。

提案手法

• 順序同型 ν, µ1, µ2 を用いて、X 上での作用を定義する、一意なイデアル [a, c) を持つ、OP(X) \ O(X) に属する標準的代表元 γ∗ を構成する。
• 順序同型と合成を用いて、補助的変換 δ, θ1, θ2, および θ2,1/θ2,2 を定義し、像と定義域を操作する。
• 変換 β∗ = η1βη2 を用いて、任意の β ∈ OP(X) \ O(X) を、像が [a,b] に含まれる OP∗(X) に属する標準形に写像する。
• θ1 と θ2 を用いた共役作用を適用して、β∗ から β を回復する。これにより β = θ1β∗θ2 ∈ ⟨O(X), γ∗⟩ であることが示される。
• O(X) が順序を保つ部分を生成すること、および γ∗ が残りの構造を生成することを確立し、OP(X) = ⟨O(X), γ∗⟩ を証明する。
• 双対性の議論を用いて、X に最大元はあるが最小元がない場合のケースをカバーし、無限鎖に対して普遍的に成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限の鎖 X 上の方向を保つ変換の半群 OP(X) と、順序を保つ変換の部分半群 O(X) との間の相対的ランクは何か？
• RQ2 相対的ランクは有限値にまで低下可能であり、もしそうなら、OP(X) のグローバルランクが非可算であるにもかかわらず、正確に1であるか？
• RQ3 OP(X) \ O(X) に属する変換は、O(X) と1つの追加生成元のみを用いた合成としてどのように表現できるか？
• RQ4 無限鎖における順序同型とイデアル構造は、このような最小生成集合の構成をどの程度可能にするか？

主な発見

• OP(X) と O(X) の間の相対的ランクは正確に1、すなわち rank(OP(X) : O(X)) = 1 である。
• OP(X) \ O(X) に属する単一の方向を保つ変換 γ∗ が存在し、OP(X) = ⟨O(X), γ∗⟩ が成り立つ。
• 任意の β ∈ OP(X) \ O(X) に対して、β は β = θ1β∗θ2 と表され、ここで β∗ ∈ OP∗(X) かつ θ1, θ2 ∈ O(X) であり、β∗ ∈ ⟨O(X), γ∗⟩ である。
• この構成は、像を標準区間 [a,b] に写像するための順序同型 τ1 : (a,b) → (a,∞) と τ2 : I → Y′ に依存する。ここで I は im β の凸包である。
• X に最小元はあるが最大元はない場合、および X に最大元はあるが最小元はない場合の両方のケースに対して、双対性により証明が成り立つ。
• 結果は、整列可能かどうか、可算か非可算かにかかわらず、すべての無限鎖に対して成り立つ。条件は、全順序であることのみである。