[論文レビュー] On representations of twisted group rings

Matthias Kuenzer|ArXiv.org|Jan 13, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、群環における単純加群の数に関するブラウアーの公式を、$T \wr G$ という形のねじれた群環へ一般化する。ここで $G$ は体 $L$ に作用し、固定体が $K$ である。$T$ は $L$ における離散値環 $S$ の整閉包である。$L\wr G$ の最大オーダーにおける $T\wr G$ の $S$-線形余長を計算し、モジュラーな条件下で、単純 $T\wr G$-加群の数を、半単純商の中心のジャコブソン根基を除いた次元によって導出し、古典的表現論をねじれた設定へ拡張する。

ABSTRACT

We generalize certain parts of the theory of group rings to the twisted case. Let G be a finite group acting (possibly trivially) on a field L of characteristic coprime to the order of the kernel of this operation. Let K in L be the fixed field of this operation, let S be a discrete valuation ring with field of fractions K, maximal ideal generated by pi and integral closure T in L. We compute the colength of the twisted group ring T G in a maximal order in L G. Moreover, if S/pi S is finite, we compute the S/pi S- dimension of the center of T G/Jac(T G). If this quotient is split semisimple, this yields a formula for the number of simple T G-modules, generalizing Brauer's formula.

研究の動機と目的

• 群環における単純加群の数に関するブラウアーの公式を、ねじれた群環へ拡張すること。
• $T$ が $G$-ガロア拡張 $L/K$ における離散値環 $S$ の整閉包であるとき、$L\wr G$ の最大オーダーにおける $T\wr G$ の余長を計算すること。
• $\bar{T}\wr G/\mathrm{Jac}(\bar{T}\wr G)$ が半単純的分裂する場合に、その中心の $\bar{S}$-次元を用いて、$\bar{T}\wr G$-加群の単純加群の数を決定すること。
• 未ねじれの場合のブラウアー＝ネスビット理論およびウェダーバーン理論に類似した、ねじれた群環のモジュラー理論を確立すること。
• 特に $G = S_4$ の場合に、野生的分岐および非自明なガロア作用を伴う $\bar{T}\wr G$-加群の構造を分析すること。

提案手法

• ウェダーバーン同型を用いて $T\wr G$ を $S$ の拡張上の行列環の積に埋め込み、この埋め込みの余核の $S$-線形長として余長を計算する。
• プランシュレの公式とフーリエ逆変換を適用し、$L\wr G$ の中心を特徴づけるシュール関係を導出する。
• モジュラー問題を、$\bar{T}\wr G/\mathrm{Jac}(\bar{T}\wr G)$ が半単純的分裂するものとして簡約し、その中心の $\bar{S}$-次元を計算する。
• $G$ の $p'$-類を用いて、中心次元を $\bar{S}$ 上のベクトル空間次元の和として表現し、ブラウアーの数え上げを一般化する。
• ガロア降下および有限体上の表現論を用いて、特に $G = S_4$ の場合に、単純 $\bar{T}\wr G$-加群を分類する。
• $p=3$ および $p=31$ の具体例を用いた明示的計算により公式を検証し、$G$ が $\bar{T}_0$ に作用する様子を分析し、不変部分空間を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群環における単純加群の数に関するブラウアーの公式を、ねじれた群環 $T\wr G$ へどのように一般化できるか？
• RQ2 $T\wr G$ の $L\wr G$ の最大オーダーにおける余長は何か？ そして、その環の構造とはどのように関係するか？
• RQ3 $\bar{T}\wr G/\mathrm{Jac}(\bar{T}\wr G)$ が半単純的分裂する条件は何か？ そして、その条件が $\bar{T}\wr G$-加群の単純加群の数に与える影響は？
• RQ4 $\bar{T}\wr G/\mathrm{Jac}(\bar{T}\wr G)$ の中心の次元は、絶対単純 $\bar{T}\wr G$-加群の数とどのように関係するか？
• RQ5 残渣体拡張が非分離的または分岐している場合、$\bar{T}\wr G$-加群のカテゴリの構造はどのようなものか？

主な発見

• $G = S_4$ および $p=3$ の場合、$\bar{T}\wr G/\mathrm{Jac}(\bar{T}\wr G)$ の中心は $\mathbb{F}_3$-次元 4 であり、絶対単純 $\bar{T}\wr G$-加群は3つ存在する：次元6で自己準同型環が $\mathbb{F}_3$ のもの2つ、次元12で自己準同型環が $\mathbb{F}_9$ のもの1つ。
• $p=31$ の場合、中心の $\mathbb{F}_{31}$-次元は5であり、絶対単純 $\bar{T}\wr G$-加群は5つ存在する：次元3のものが4つ、次元6のものが1つ。
• 単純 $T\wr G$-加群の数の公式は、$\bar{T}\wr G/\mathrm{Jac}(\bar{T}\wr G)$ の中心の $\bar{S}$-次元に等しく、これは $G$ の $p'$-類ごとのある種のベクトル空間次元の和として与えられる。
• $N=1$ のとき、$L\wr G$ は $\mathrm{End}_K(L)$ に同型であり、単一の単純加群しか持たない。これは非自明なねじれの極端な例である。
• $G = C_2$、$L = \mathbb{Q}(X)$、$X^c = -X$ の例では、残渣加群 $\bar{T}_0$ は $\bar{T}\wr G$-加群として単純であるが、絶対単純ではない。実際 $\mathrm{End}_{\bar{T}\wr G}(\bar{T}_0) = \mathbb{F}_2(X)$ である。
• $T\wr G$ の $L\wr G$ の最大オーダーにおける余長は、ウェダーバーン埋め込みの余核の $S$-線形長として計算され、古典的ウェダーバーン余長を一般化する。