[論文レビュー] On Sasakian-Einstein Geometry

Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki|ArXiv.org|Nov 16, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿は準正則Sasakian–Einstein幾何学を調査し、そのような軌道多様体の空間に自然な積を定義し、その積が滑らかなSasakian–Einstein多様体を導くための必要十分条件を導出する。スペクトル系列の技法を用いて、多数の事例でコホモロジー環を計算し、理論物理学における超対称的 conformal field theory への応用のための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

We discuss Sasakian-Einstein geometry under a quasi-regularity assumption. It is shown that the space of all quasi-regular Sasakian-Einstein orbifolds has a natural multiplication on it. Furthermore, necessary and sufficient conditions are given for the `product' of two Sasakian-Einstein manifolds to be a smooth Sasakian-Einstein manifold. Using spectral sequence arguments we work out the cohomology ring in many cases of interest. This type of geometry has recently become of interest in the physics of supersymmetric conformal field theories.

研究の動機と目的

• 準正則Sasakian–Einstein軌道多様体の構造と分類を理解すること。
• そのような軌道多様体の空間に自然な積演算を定義し、それらを分析すること。
• 2つのSasakian–Einstein多様体の積が、自身で滑らかなSasakian–Einstein多様体であるための必要十分条件を特定すること。
• 主要な幾何的ケースにおいて、スペクトル系列の議論を用いてSasakian–Einstein多様体のコホモロジー環を計算すること。
• Sasakian–Einstein幾何学と理論物理学との間の関係を確立すること、特に超対称的 conformal field theory の文脈において。

提案手法

• 著者たちは準正則性の仮定の下でSasakian–Einstein構造を分析し、その背後にあるS^1-foliationとその商軌道多様体構造に焦点を当てる。
• Sasaki多様体のジョイン構成に基づき、準正則Sasakian–Einstein軌道多様体の空間に積演算を定義する。
• スペクトル系列の技法、特にLeray–Serreスペクトル系列を用いて、さまざまなSasaki–Einstein多様体のコホモロジー環を計算する。
• 本稿では、Reebベクトル場、接触形式、および全空間とその商におけるEinstein計量といった微分幾何的道具を用いる。
• Boothby–Wang構成を介したSasaki–Einstein多様体とKähler–Einstein軌道多様体の間の対応関係に根拠を置く。
• 代数的トポロジーとRiemann幾何学を通じて理論的結果を導出し、高エネルギー理論における物理的モデルへの応用を伴う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのSasakian–Einstein多様体の積が滑らかなSasakian–Einstein多様体であるための条件は何か？
• RQ2 準正則Sasakian–Einstein軌道多様体の空間に自然な積をどのように定義できるか？
• RQ3 準正則性の仮定の下で、Sasakian–Einstein多様体のコホモロジー環の構造はどのようなものか？
• RQ4 スペクトル系列の手法は、この幾何的設定でコホモロジーをどのように計算に役立てるか？
• RQ5 Reeb foliation 及びその商軌道多様体は、Sasakian–Einstein構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 準正則Sasakian–Einstein軌道多様体の空間に自然な積が定義され、代数的構造が与えられる。
• 2つのSasakian–Einstein多様体の積が滑らかなSasakian–Einstein多様体であるための必要十分条件が導出され、そのReeb foliation の整合性に依存する。
• 多くのSasakian–Einstein多様体のコホモロジー環がLeray–Serreスペクトル系列を用いて計算され、詳細な位相的不変量が明らかになった。
• 本稿では、Boothby–Wang構成を介してSasaki–Einstein多様体とKähler–Einstein軌道多様体の間の正確な対応関係を確立する。
• Sasaki–Einstein多様体の新しい例を構成し、その位相を分析するための体系的フレームワークを提供する。
• 理論物理学における特定の超対称的 conformal field theory の幾何的背景を理解するための基盤的ツールを提供する。