[論文レビュー] On satellites in arbitrary categories

George Janelidze|ArXiv.org|Sep 9, 2008

Space Satellite Systems and Control参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の圏における衛星の概念を一般化し、2つの圏への図式を備えたグラフに基づく枠組みを導入する。右衛星関手が左衛星関手の左随伴であることを確立し、右または左随伴を持つ関手がこれらの衛星を保存することを証明し、圏的設定におけるホモロジー代数の基礎的構成を与える。

ABSTRACT

We generalize the definition of satellites with respect to presheaves (and copresheaves) with trace in the sense of Inassaridze; a presheaf with trace is replaced by a graph with a pair of diagrams defined on it. We show that the right satellite functor is left adjoint to the left satellite functor, and that a functor having a right (left) adjoint preserves right (left) satellites. In particular cases the construction of satellites is given.

研究の動機と目的

• 古典的な衛星の概念をアーベル圏を超えて任意の圏へ拡張すること。
• 源と標的の圏へ写像する2つの図式を備えたグラフを用いた衛星構成の形式化。
• 左衛星関手と右衛星関手の間の随伴性の確立。
• 随伴を持つ関手が衛星構造を保存することの証明。
• 集合やアーベル群などの具体的な例における衛星の明示的構成。

提案手法

• 関手 $F: \underline{S} \to \underline{X}$ および $G: \underline{S} \to \underline{Y}$ を備えたグラフ $\underline{S}$ の圏 $\underline{S}(\underline{X},\underline{Y})$ を導入し、その準同型がこれらの関手と可換になるように定義する。
• 圏の反対圏を用いた双対性 $\underline{S}(\underline{X},\underline{Y})^\circ \approx \underline{S}(\underline{Y}^\circ, \underline{X}^\circ)$ を通じて、反対圏における図式の関係を定式化する。
• 関手 $T: \underline{X} \to \underline{A}$ および $V: \underline{Y} \to \underline{A}$ に対して、余積と商構成を用いて双関手 $\underline{S}^1 T$ および $\underline{S}_1 V$ を構成する。
• 右衛星 $\underline{Y} \cdot \underline{S} \cdot T$ を、$\underline{Y}$-射影、$F$-および $G$-ファイバー、および $T$-値の余積の商として定義し、自然性を強制する同値関係を導入する。
• 接続射影 $\delta(S): T(X) \to \underline{Y} \cdot \underline{S} \cdot T(Y)$ および $\vartheta(S)$ を定義し、得られる対の普遍性を示す。
• $\underline{A} = \text{Sets}$ に適用し、自由代数と商を用いて代数の多様体（例えばアーベル群）へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 衛星の概念をアーベル圏を超えて任意の圏へどのように一般化できるか？
• RQ2 左衛星関手と右衛星関手の間の圏的双対性は何か？ そして、反対圏を用いてどのように表現されるか？
• RQ3 右衛星関手が左衛星関手の左随伴であるための条件は何か？
• RQ4 集合やアーベル群などの具体的な圏において、衛星構成をどのように明示的に実現できるか？
• RQ5 随伴関手は衛星構成とどのように作用し、どのような保存性を有するか？

主な発見

• 右衛星関手 $\underline{S}^1$ が左衛星関手 $\underline{S}_1$ の左随伴であることが示され、構成に根本的な双対性が確立される。
• 右（または左）随伴を持つ関手は右（または左）衛星を保存するため、随伴関手と整合性を保つ。
• $\underline{A} = \text{Sets}$ の場合、右衛星 $\underline{Y} \cdot \underline{S} \cdot T$ は $\underline{Y}$-射影と $F$ および $G$ のファイバー積の余積の商として構成され、自然性を強制する同値関係が導入される。
• 接続射影 $\delta(S): T(X) \to \underline{Y} \cdot \underline{S} \cdot T(Y)$ は普遍的であり、対 $(T, \delta, \underline{Y} \cdot \underline{S} \cdot T)$ は右普遍的である。
• アーベル群などの代数の多様体において、衛星構成は自由代数と最小商を介して持ち上げられ、普遍性が保存される。
• 左衛星は関手 $\underline{Y} \cdot \underline{S} \cdot T$ と射影 $\vartheta$ を用いて構成され、$V$ との組み合わせで左普遍的対を導く。