[論文レビュー] On Scattering for CMV Matrices

Alexander Kheifets, Franz Peherstorfer+1 more|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ネハリ補間とヴェルブンスキー係数を用いて、独立変数による乗算がCMV行列に対応する明示的基底を構成することにより、CMV行列に対する散乱理論的枠組みを確立する。主な貢献は、ヴェルブンスキー係数が漸近的にゼロに収束することの証明であり、ユニタリ拡大とフィードバック結合を用いて散乱関数およびスペクトル測度の明示的公式を導出することにある。

ABSTRACT

Adamjan-Arov (Lax--Phillips) model space is considered as a scattering representation space for a CMV matrix in context of an extended Marchenko--Faddeev scattering theory. That is, there exists a basis in which the multiplication by independent variable is a CMV matrix. This basis as well as Verblunski coefficients are computed explicitly in terms of Nehari interpolation. Asymptotically the Verblynski coefficients go to zero. Moreover, relations between the basis and wandering subspaces are established. Transformation from scattering representation to spectral representation is given.

研究の動機と目的

• 拡張されたマルチェンコ＝ファドエフ枠組みを用いて、CMV行列の散乱表現を構築すること。
• 乗算作用素がCMV行列に対応する明示的正規直交基底を構成すること。
• ネハリ補間を用いて、ヴェルブンスキー係数および散乱関数 $ R(z) $ を明示的に計算すること。
• インデックスの増加に伴い、ヴェルブンスキー係数が漸近的にゼロに収束することを確立すること。
• ユニタリ拡大とフィードバック結合を用いて、散乱表現からスペクトル表現への変換を導出すること。

提案手法

• 重み付き内積を用いたSzegő合同関数 $ R $ を用いて、空間 $ L^R $ を定義し、$ t $ による乗算作用素 $ U_R $ がこの空間上でユニタリであることを示す。
• 関数 $ t^n H^2_+ $ および $ \bar{t}^m H^2_- $ の閉包として、部分空間 $ \check{\mathcal{H}}_{n,m} $ を構成し、直交補空間 $ \check{\Delta}_{n,m} $ および $ \widetilde{\check{\Delta}}_{n,m} $ を定義する。
• フィードバック結合を用いて $ U_R $ を分解するユニタリ作用素 $ \check{U}_{0,n,m} $ および $ \check{U}_{1,n,m} $ を定義し、基底の再帰的構成を可能にする。
• ヴェルブンスキー補間を用いて、ベクトル $ \check{K}_{n,m} $ および $ \widetilde{\check{K}}_{n,m} $ を明示的に計算し、$ \check{a}_{n+m}(0) $、すなわち $ \begin{bmatrix}1\\ R\end{bmatrix}t^n $ との内積に規格化を結びつける。
• 散乱関数 $ R(z) $ は、$ * $-循環対 $ e_0, d_0 $ が与えられたとき、公式 $ R(z) = d_0^* \{(I - zU_R^*)^{-1} + (I - \bar{z}U_R)^{-1} - I\} e_0 $ を用いて調和拡張により回復される。
• スペクトル測度は $ \check{\Sigma}_{n,n}^{(11)} $ を用いて導出され、ヴェルブンスキー係数 $ \check{\alpha}_j $ を通じてCMV基底へと変換する公式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネハリ補間を用いて構築された散乱表現空間において、CMV行列がどのように乗算作用素として実現可能か。
• RQ2 基底ベクトル $ \check{K}_{n,m} $ および $ \widetilde{\check{K}}_{n,m} $ の明示的形は、$ R $ およびヴェルブンスキー係数を用いてどのように表現できるか。
• RQ3 ヴェルブンスキー係数 $ \check{\alpha}_j $ の漸近的挙動は何か。また、積 $ \prod (1 - |\check{\rho}_j|^2) $ の収束性とはどのように関係するか。
• RQ4 構築された基底において、CMV行列から散乱関数 $ R(z) $ はどのように再構成されるか。
• RQ5 作用素 $ U_R $ のスペクトル測度は何か。また、散乱表現からスペクトル表現への変換はどのように行われるか。

主な発見

• ヴェルブンスキー係数 $ \check{\alpha}_j $ は $ \check{a}_j(0) = \prod_{k=j}^\infty \check{\rho}_k $ を満たし、$ j \to \infty $ のとき $ \check{a}_j(0) \to 1 $ となるため、$ \check{\alpha}_j \to 0 $ が漸近的に成立する。
• $ n \to \infty $ のとき $ \| \begin{bmatrix}1\\ R\end{bmatrix}t^n - \check{K}_{n,n} \| \to 0 $ であるという挙動は、$ \check{K}_{n,n} $ が $ \begin{bmatrix}1\\ R\end{bmatrix}t^n $ を漸近的に近似することを確認する。
• 散乱関数 $ R(z) $ は、$ * $-循環対 $ e_0, d_0 $ が与えられたとき、公式 $ R(z) = d_0^* \{(I - zU_R^*)^{-1} + (I - \bar{z}U_R)^{-1} - I\} e_0 $ を用いて明示的に再構成可能である。
• $ \check{K}_{n,n} $ および $ \widetilde{\check{K}}_{n+1,n} $ に関するスペクトル測度は、$ \check{\Sigma}_{n,n}^{(11)} $ の行列変換として与えられ、$ \check{\alpha}_{2n} $ および $ \check{\rho}_{2n} $ を含む。
• $ \sum_{j=n}^\infty |\check{\alpha}_j|^2 < \infty $ の収束は、積 $ \prod_{j=n}^\infty (1 - |\check{\rho}_j|^2) $ の収束と同値であり、これは $ 1 - |R|^2 $ の因子分解から導かれる。
• スペクトル測度 $ \log \det \check{\Sigma}_{n,n} \in L^1 $ であることが保証され、これは $ 1 - |\check{\omega}_{n+m}|^2 $ の因子分解から生じるが、これは $ 1 - |R|^2 $ の因子分解に起因する。