[論文レビュー] On several kinds of sums of balancing numbers

Takao Komatsu, G. K. Panda|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2016

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ひとこと要約

本稿は、バランス数およびルーカスバランス数の積の和を調査し、∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r} などの対称的和について閉形式の恒等式を導出している。また、交互級数を含む逆数和に対しても、⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k)^{-1}⌋ のような床関数の恒等式を確立し、それらが二次形式の性質と関連した正確な整数値をとることを明らかにしている。ルーカスバランス数に対しても同様の結果が得られている。

ABSTRACT

The balancing numbers $B_n$ ($n=0,1,\cdots$) are solutions of the binary recurrence $B_n=6B_{n-1}-B_{n-2}$ ($n\ge 2$) with $B_0=0$ and $B_1=1$. In this paper we show several relations about the sums of product of two balancing numbers of the type $\sum_{m=0}^n B_{k m+r}B_{k(n-m)+r}$ ($k>r\ge 0$) and the alternating sum of reciprocal of balancing numbers $\left\lfloor\left(\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{B_{l k}} ight)^{-1} ight floor$. Similar results are also obtained for Lucas-balancing numbers $C_n$ ($n=0,1,\cdots$), satisfying the binary recurrence $C_n=6C_{n-1}-C_{n-2}$ ($n\ge 2$) with $C_0=1$ and $C_1=3$. Some binomial sums involving these numbers are also explored.

研究の動機と目的

• バランス数の対称的積和の閉形式表現を導出すること、具体的には k > r ≥ 0 のもとで ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r} を対象とする。
• バランス数およびルーカスバランス数の交互級数の逆数和を調査し、その逆数の床関数を特定すること。
• B_n と同じ線形再帰関係に従うが初期値が異なる C_n（ルーカスバランス数）に対しても同様の結果を拡張すること。
• 二項係数を含む和、特に 3 のべきと組み合わせた恒等式を含むバランス数およびルーカスバランス数の二項和を調査すること。
• 無限交互級数の逆数の床関数に対して、序列の性質とその母関数を用いて正確な整数値の恒等式を確立すること。

提案手法

• バイネ型の公式の使用：B_n = (α^n − β^n)/(4√2) および C_n = (α^n + β^n)/2、ここで α = 3 + 2√2、β = 3 − 2√2。
• 線形再帰恒等式の応用、特に B_{n±m} = B_n C_m ± B_m C_n および C_{n±m} = C_n C_m ± 8B_n B_m。
• 既知の gcd および合同性の性質の活用：gcd(B_m, B_n) = B_{gcd(m,n)} および 奇素数 p に対して B_p ≡ (p/8) mod p。
• 母関数を用いた二項和の恒等式の導出、(3α − 1)^n = (2√2 α)^n および (3β − 1)^n = (−2√2 β)^n を利用。
• 逆数和の評価において、項の比較と単調性・符号解析を用いた不等式の確立。
• B_n および C_n を含む有理式の符号比較とテレスコピングに類似た推定を用いて、床関数の恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k > r ≥ 0 のもとで、和 ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r} の閉形式表現は何か？
• RQ2 無限交互級数 ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k の逆数の床関数は、B_n および B_{n−1} を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 ルーカスバランス数 C_n について、逆数和およびその逆数の床関数に関して同様の恒等式は存在するか？
• RQ4 バランス数およびルーカスバランス数の二項係数付き和は、閉形式で評価可能か？
• RQ5 さまざまな l および n に対して、⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_{lk})^{-1}⌋ の正確な整数値は何か？

主な発見

• ∑_{k=0}^{2n}  binom{2n}{k} B_k = 8^n B_n および ∑_{k=0}^{2n}  binom{2n}{k} C_k = 8^n C_n が成り立ち、二項係数と組み合わせて指数関数的増加を示す。
• 交互級数においては、∑_{k=0}^{2n}  binom{2n}{k} (-1)^k B_k = 4^n B_n および ∑_{k=0}^{2n}  binom{2n}{k} (-1)^k C_k = 4^n C_n が成り立つ。
• ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k の逆数の床関数は、n が偶数のとき C_n + C_{n−1} − 1、n が奇数のとき −(C_n + C_{n−1}) に等しい。
• ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k^2 の逆数の床関数は、n が偶数のとき C_n^2 + C_{n−1}^2 − 1、n が奇数のとき −(C_n^2 + C_{n−1}^2) に等しい。
• B_{2k}、B_{2k−1} およびそれらの積に対しても同様の恒等式が成り立ち、床関数の値は n の偶奇および序列の二次形式に依存する。
• ⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_{2k}^2)^{-1}⌋ = B_{2n}^2 + B_{2n−2}^2（n が偶数のとき）、−(B_{2n}^2 + B_{2n−2}^2 + 1)（n が奇数のとき）であることが、符号および大きさの精密な制御を伴って確立された。