[论文解读] On solving classes of positive-definite quantum linear systems with quadratically improved runtime in the condition number

Davide Orsucci, Vedran Dunjko|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 66被引用 12

一句话总结

本文证明了通用正定量子线性系统（PD-QLS）问题的运行时间在条件数 κ 上呈线性关系，因此在最坏情况下无法实现二次加速。然而，它提出了两种新颖的量子算法，通过利用 A⁻¹ 的高效矩阵块编码或矩阵分解 A = LL†，在广泛类别的 PD-QLS 上实现了 O(√κ) 的运行时间，从而实现二次加速，并解决了 BQP-完全问题。

ABSTRACT

Quantum algorithms for solving the Quantum Linear System (QLS) problem are among the most investigated quantum algorithms of recent times, with potential applications including the solution of computationally intractable differential equations and speed-ups in machine learning. A fundamental parameter governing the efficiency of QLS solvers is $\kappa$, the condition number of the coefficient matrix $A$, as it has been known since the inception of the QLS problem that for worst-case instances the runtime scales at least linearly in $\kappa$ [Harrow, Hassidim and Lloyd, PRL 103, 150502 (2009)]. However, for the case of positive-definite matrices classical algorithms can solve linear systems with a runtime scaling as $\sqrt{\kappa}$, a quadratic improvement compared to the the indefinite case. It is then natural to ask whether QLS solvers may hold an analogous improvement. In this work we answer the question in the negative, showing that solving a QLS entails a runtime linear in $\kappa$ also when $A$ is positive definite. We then identify broad classes of positive-definite QLS where this lower bound can be circumvented and present two new quantum algorithms featuring a quadratic speed-up in $\kappa$: the first is based on efficiently implementing a matrix-block-encoding of $A^{-1}$, the second constructs a decomposition of the form $A = L L^\dagger$ to precondition the system. These methods are widely applicable and both allow to efficiently solve BQP-complete problems.

研究动机与目标

• 确定正定线性系统的量子算法是否能像经典方法一样，在条件数 κ 上实现二次加速。
• 识别在一般 Ω(κ) 下界下仍可实现此类二次加速的正定矩阵的结构性质。
• 开发新的量子算法，以改进运行时间的缩放方式，高效求解这些结构化的 PD-QLS 问题。
• 确立 PD-QLS 问题的一个子类为 BQP-完全，证明其计算通用性。
• 通过识别广泛相关的、可高效量子求解的矩阵族，弥合理论上的量子加速与实际应用之间的鸿沟。

提出的方法

• 基于 A⁻¹ 的高效矩阵块编码实现，开发了一种量子算法，使求解 PD-QLS 的查询复杂度和门复杂度达到 O(√κ)。
• 提出一种预条件化方法，通过构造分解 A = LL†，将系统转化为适合高效量子求解的形式，门复杂度为 O(√κ)。
• 使用块编码框架，将逆矩阵 A⁻¹ 表示为可量子计算的形式，从而实现高效的态制备和酉演化。
• 通过将系数矩阵 A 分解为一个下三角矩阵及其共轭转置的乘积，实现有效的预条件化并改善收敛性。
• 应用费曼-基塔耶夫哈密顿量构造，将一个量子电路编码为 QLS 问题，证明了 Sum-QLS 子类的 BQP-完全性。
• 通过从一个酉演化构造一个厄米正定矩阵 A = M†M（其中 M 编码电路），建立了量子电路模拟与 QLS 之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 正定线性系统的量子算法是否能像经典迭代求解器一样，在条件数 κ 上实现二次加速？
• RQ2 正定矩阵的何种结构性质使得其运行时间可缩放为 O(√κ)，而非一般性的 Ω(κ) 下界？
• RQ3 能否通过矩阵块编码或矩阵分解，为结构化类别的 PD-QLS 问题构造高效的量子算法？
• RQ4 求解某些类别的正定量子线性系统是否为 BQP-完全？
• RQ5 在矩阵结构和稀疏性方面，实现条件数依赖性的二次改进所需的最小假设是什么？

主要发现

• 本文在标准访问模型下，证明了求解任意 QLS 问题（包括正定情形）的查询复杂度下界为一般性的 Ω(κ)。
• 对于一大类正定矩阵，所提出的基于块编码的算法实现了 O(√κ) 的查询复杂度和门复杂度，相较于一般 QLS 下界实现了二次加速。
• 基于分解的算法通过 A = LL† 的预条件化，同样实现了 O(√κ) 的门复杂度，前提是向量 b 与解空间有足够重叠。
• Sum-QLS 问题（定义为多项式参数缩放的正定局部哈密顿量之和）被证明是 BQP-完全的。
• 这些算法适用于离散化偏微分方程（如泊松方程）和量子电路模拟等问题，其中 A 为正定且 b 为稀疏。
• 分析确认，当重叠参数 γ 较小时，且矩阵 A 由 O(T) 个有界局域性和稀疏性的正定局部哈密顿量之和构成时，运行时间的改进是可实现的。