[論文レビュー] On some 2D orthogonal q-polynomials

Mourad E. H. Ismail, Ruiming Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、2つの複素変数における2次元ヘルミート多項式の2種類のqアナログを導入し、それらの明示的公式、直交性関係、上昇・下降作用素、生成関数、ロドリゲス型公式を確立する。主な貢献は、ゼルニケ（円盤）多項式のqアナログとしてのq-2次元超球多項式系の構成であり、ロジャース＝ラマヌジャン恒等式やラマヌジャン関数との漸近的挙動の関連が示される。

ABSTRACT

We introduce two q-analogues of the 2D-Hermite polynomials which are functions of two complex variables. We derive explicit formulas, orthogonality relations, raising and lowering operator relations, generating functions, and Rodrigues formulas for both families. We also introduce a q-2D analogue of the disk polynomials (Zernike polynomials) and derive similar formulas for them as well including evaluating certain connection coefficients. Some of the generating functions may be related to Rogers-Ramanujan type identities.

研究の動機と目的

• 2つの複素変数における2次元ヘルミート多項式のqアナログを開発し、古典的直交多項式理論をq設定に拡張すること。
• 2種類のq-2次元ヘルミート多項式族の直交性測度を確立し、特に2番目の族に対して無限個の測度が存在することを示すこと。
• 従来の構成とは異なる方法で、ゼルニケ（円盤）多項式のqアナログとしてのq-2次元超球多項式系を導入すること。
• 両方のq-2次元ヘルミート族に対して、生成関数、ラダー作用素、ロドリゲス公式を導出すること。
• ラマヌジャンのベータ積分やロジャース＝ラマヌジャン型恒等式を含む特殊関数との関連を調査すること。

提案手法

• q二項係数とqシフト階乗を用いて、2つのq-2次元ヘルミート多項式族の明示的閉形式を導出する。
• q積分と複素平面上に台を持つ測度を用いて直交性関係を確立し、特に1つの族に対しては新規の無限族の測度を導入する。
• q微分作用素とライブニッツ型規則を適用し、上昇・下降作用素およびqシュトゥルム＝リウヴィル方程式を導出する。
• q指数関数的恒等式を用いて生成関数を構成し、q二項定理などの既知の恒等式と関連付ける。
• 生成関数を用いてq-2次元超球多項式を定義し、アスキ－ロイ積分とq積分表現を用いてその直交性を証明する。
• モーメント型表現と行列逆行列技法を用いて、2つのq-2次元ヘルミート族間の接続係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的2次元ヘルミート多項式は、直交性や生成関数といった主要な構造的性質を保ったまま、2つの複素変数におけるqアナログにどのように一般化できるか？
• RQ2 新規のq-2次元ヘルミート多項式族に対する上昇・下降作用素およびロドリゲス公式の明示的形は何か？
• RQ3 q-2次元ヘルミート多項式およびq-2次元超球多項式の零点集合はどのように振る舞い、その漸近的分布はどのような性質を示すか？
• RQ4 これらのq多項式の生成関数は、ロジャース＝ラマヌジャン型恒等式または他のq級数恒等式とどのように関連しているか？
• RQ5 2つのq-2次元ヘルミート族間の接続係数は何か？また、それらは閉形式でどのように表現できるか？

主な発見

• 最初のq-2次元ヘルミート族 {H_{m,n}(z₁,z₂|q)} は1つの直交性測度を有するが、2番目の族 {h_{m,n}(z₁,z₂|q)} は無限個の異なる直交性測度を有する。
• q-2次元超球多項式 {p_{m,n}(z,z̄;b|q)} はゼルニケ多項式のqアナログとして構成され、アスキ－ロイ積分を用いてその直交性が確立されている。
• {H_{m,n}(z,z̄|q)}、{h_{m,n}(z,z̄|q)}、{p_{m,n}(z,z̄;b|q)} の零点集合は、複素平面上の原点を中心とする同心円上に位置する。
• {H_{m,n}(z,z̄|q)} および {p_{m,n}(z,z̄;b|q)} の零点の極限分布は、それぞれの直交性測度の台と一致する。
• 2つのq-2次元ヘルミート族間の接続係数は、q二項係数とq超幾何型和を用いて閉形式で表現できる。
• 既知のヘルミート多項式の生成関数の2次元qアナログが導出され、分割論やq級数恒等式への応用が示唆される。