[論文レビュー] On Some Algebraic Properties of Generalized Groups

J. O. Adéníran, J. T. Akinmoyewa+2 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2009

Mathematics and Applications参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、各元に対して固有の単位元と逆元を持つ非結合的代数的構造としての一般化群の代数的性質を調査し、古典的群論の結果を拡張する。逆元の対合性、準同型の核、商群といった群の基本的性質が一般化群においても成り立つことを証明し、アーベルな部分群をもつ非アーベル一般化群からボル群多様体および準群を構成することで、一般化群と非結合的ループ理論の間の新たな関係を確立する。

ABSTRACT

Some results that are true in classical groups are investigated in generalized groups and are shown to be either generally true in generalized groups or true in some special types of generalized groups. Also, it is shown that a Bol groupoid and a Bol quasigroup can be constructed using a non-abelian generalized group.

研究の動機と目的

• 一般化群—各元に対して固有の単位元と逆元を持つ非結合的代数的構造—において、古典的群論のどの性質が拡張可能かを特定すること。
• 一般化群がボルループや準群のような非結合的代数的構造を構成する基盤として機能可能かどうかを調査すること。
• 一般化群がアーベル一般化部分群の直積と同型であるための必要十分条件を確立すること。
• 消去法則と正規性が準同型および商構造において構造的性質を保存する役割を明らかにすること。

提案手法

• 各元 $x$ に対して固有の単位元 $e(x)$ と逆元 $x^{-1}$ を持つ一般化群の定義を用い、$xx^{-1} = x^{-1}x = e(x)$ を満たし、乗法の結合的性質を仮定する。
• 準同型論の応用：$f: G \to H$ を $f(ab) = f(a)f(b)$ で定義し、核の性質と部分群公理に基づく像の閉包性を証明する。
• 一般化部分群 $H$ に対して因子集合 $G/H$ を構成し、左剰余類の乗法により一般化群の公理を引き継ぐことを証明する。
• 集合 $A = H \times G$ に二項演算 $(h_1,g_1) \circ (h_2,g_2) = (h_1h_2, h_2g_1h_2^{-1}g_2)$ を定義し、ボル群多様体を構成する。
• ボル恒等式 $((x\circ y)\circ z)\circ y = x\circ((y\circ z)\circ y)$ の検証により、ボル構造の成立を確認する。
• 消去法則とアーベル部分群の条件を適用し、構成された構造が左単位元をもつボル準群に変換されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(a^{-1})^{-1} = a$ や反自己同型的逆元性といった古典的群の性質が、一般化群においても成り立つか。
• RQ2 一般化群が2つのアーベル一般化部分群の直積と同型である条件は何か。
• RQ3 非アーベル一般化群からボルループや準群のような非結合的代数的構造を構成可能か。
• RQ4 一般化群における準同型と核は、古典的群におけるそれらとどのように比較できるか。
• RQ5 消去法則がボル群多様体をボル準群に変換する役割を果たすか。

主な発見

• 任意の一般化群 $G$ において、すべての $a \in G$ に対して $(a^{-1})^{-1} = a$ が成り立つ。これは群論の基本的性質の拡張である。
• 正規一般化群 $G$ において、$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ が成り立つのは、$ab^{-1} = a$ ならば $e(ab^{-1}) = e(a)$ が成り立つとき、かつそのときに限る。
• 条件 $e(a) = e(ab^{-1})$ が $ab^{-1} = a$ と同値であるとき、一般化群 $G$ が冪等的であるための必要十分条件は、すべての $a \in G$ に対して $e(a) = a$ が成り立つことである。
• 一般化部分群 $H$ をもつ一般化群 $G$ に対して、剰余類乗法のもとで因子集合 $G/H$ は、自身が一般化群である。
• 2つの一般化群の直積 $G \times H$ は、成分ごとの乗法のもとで一般化群である。
• 消去法則を満たす非アーベル一般化群 $G$ と、アーベル一般化部分群 $H$ をもつとき、$A = H \times G$ に $(h_1,g_1) \circ (h_2,g_2) = (h_1h_2, h_2g_1h_2^{-1}g_2)$ で定義される演算を導入すると、左単位元をもつボル準群が得られる。