[論文レビュー] On some classes of integral domains defined by Krull's $\boldsymbol{a.b.}$ operations

Marco Fontana, Giampaolo Picozza|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Rings, Modules, and Algebras参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、クルールのa.b.作用を介して定義される整域を調査し、特にb作用とその有限型e.a.b.半スターオペレーションに焦点を当てる。b-Noether整域を特徴づけ、d, t, w, vといった基本的オペレーションがそれらに対応するe.a.b.形式（例：b, t_a, w_a, v_a）と一致するような整域を分類することで、古典的乗法的イデアル論と最近の半スターオペレーション枠組みを統合する等価性を明らかにする。

ABSTRACT

Let $D$ be an integral domain with quotient field $K$. The $b$-operation that associates to each nonzero $D$-submodule $E$ of $K$, $E^b := \bigcap\{EV \mid V valuation overring of D\}$, is a semistar operation that plays an important role in many questions of ring theory (e.g., if $I$ is a nonzero ideal in $D$, $I^b$ coincides with its integral closure). In a first part of the paper, we study the integral domains that are $b$-Noetherian (i.e., such that, for each nonzero ideal $I$ of $D$, $I^b = J^b$ for some a finitely generated ideal $J$ of $D$). For instance, we prove that a $b$-Noetherian domain has Noetherian spectrum and, if it is integrally closed, is a Mori domain, but integrally closed Mori domains with Noetherian spectra are not necessarily $b$-Noetherian. We also characterize several distinguished classes of $b$-Noetherian domains. In a second part of the paper, we study more generally the e.a.b. semistar operation of finite type $\star_a$ canonically associated to a given semistar operation $\star$ (for instance, the $b$-operation is the e.a.b. semistar operation of finite type canonically associated to the identity operation). These operations, introduced and studied by Krull, Jaffard, Gilmer and Halter-Koch, play a very important role in the recent generalizations of the Kronecker function ring. In particular, in the present paper, we classify several classes of integral domains having some of the fundamental operations $d$, $t$, $w$ and $v$ equal to some of the canonically associated e.a.b. operations $b$, $t_a$, $w_a$ and $v_a$.

研究の動機と目的

• すべての非ゼロイデアルIが、ある有限生成イデアルJに対してI^b = J^bを満たすようなb-Noether整域を研究すること。
• 古典的オペレーションd, t, w, vがそれらに対応する有限型e.a.b.半スターオペレーション（b, t_a, w_a, v_a）と一致する整域を特徴づけること。
• 半スターオペレーションの観点から、整閉整域、プリューファー整域、モリ整域、空整域の間の関係を明確にすること。
• b, t, w, vなどのオペレーションがそれらに対応するe.a.b.形式に等しくなる条件を分析することで、古典的乗法的イデアル論と現代の半スターオペレーション理論を統合すること。
• b = t, b = w, またはb = vといった恒等式を満たすための必要十分条件を確立し、これらを整域の構造的性質（整域性、プリューファー性、デデキンド性など）と結びつけること。

提案手法

• 商体Kをもつ整域D上の半スターオペレーションとしてb作用を定義し、E^b = ⋂{EV | VはDの価値環}と定める。
• 任意の半スターオペレーション⋆に対して、E^{⋆_a} = ⋃{F^⋆ | F ⊆ E, F ∈ f(D)}により定義される有限型e.a.b.半スターオペレーション⋆_aを導入する。
• 有限型構成を用いて、古典的スターオペレーション（d, t, v, w）とそれらのe.a.b.形式（b, t_a, v_a, w_a）との関係を、特にクルール理論の文脈で分析する。
• 半スターオペレーション理論を応用し、b = t, b = w, b = v, またはb = t_aを満たす整域を分類する。整域の性質（整域性、プリューファー構造、有限型安定性）を用いる。
• ギルメール、ハルター＝コッホ、ジャファードの既知の結果を活用し、tやvがe.a.b.である条件を分析し、これにより空整域やv整域を特徴づける。
• 双対性と閉包性質を用いて、構造的整域性質（例：プリューファー、デデキンド、モリ）とオペレーションの等価性（例：b = w, b = t, d = v）との間の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で整域がb-Noether的であり、その構造的性質（例：ネーター的スペクトル、モリ性）は何か？
• RQ2 b作用とt作用が一致するのはいつか？ そしてこれは整域が空整域またはv整域であることにどのように関係するか？
• RQ3 古典的オペレーションd, t, w, vがそれらに対応するe.a.b.半スターオペレーション（b, t_a, w_a, v_a）に等しくなるのはいつか？ そしてこれらの等式は整域の構造にどのような含意を持つか？
• RQ4 整域の整閉性が、d = v または b = v が半スターオペレーションとして成立するかどうかに果たす役割は何か？
• RQ5 b = w, b = t, およびb = w_aの等式は、プリューファー、デデキンド、またはDW整域といった古典的整域クラスとどのように関係するか？

主な発見

• b-Noether整域はネーター的スペクトルを持つ。さらに整閉であればモリ整域であるが、逆は成り立たない。
• b作用とv作用が一致する（b = v）のは、Dが除法的価値環（すなわち、主イデアルを最大イデアルとして持つ価値環）である場合に限る。
• b = tが成り立つのは、Dが空v整域である場合に限る。これは、Dが空整域であり、tがe.a.b.かつ有限型であることに等しい。
• b = wは、Dがプリューファー整域であることと同値であり、このときd = b = w = w_aとなるため、DはDW整域である。
• b = t_aは、Dが空整域であるよりも弱い条件であり、b = w_aはすべてのDW整域で成り立つが、b = w_aを満たすすべての整域が空整域であるとは限らない。
• クルール整域では、b = t_aであることはDがデデキンド整域であることと同値であり、P$v$MDでは、b = t_aであることはDがプリューファー整域であることと同値である。