[論文レビュー] On some fundamental misunderstandings in the indeterminate couple stress model. A comment on recent papers of A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush

Patrizio Neff, Ingo von Münch+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 44被引用数 67

ひとこと要約

本稿は、HadjesfandiariおよびDargushが提示した、不確定なモーメント応力テンソルの反対称性に関する主張に反論する。彼らの結論は物理的必然性ではなく、誤った不完全な境界条件に起因していることが示される。著者らは、完全な応力境界条件を備えた修正された一貫性のある定式化を確立し、モーメント応力テンソルの反対称性を要求しないままモデルが適切に定式化されることを証明する。

ABSTRACT

In a series of papers which are either published [A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Couple stress theory for solids, Int. J. Solids Struct. 48, 2496-2510, 2011; A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Fundamental solutions for isotropic size-dependent couple stress elasticity, Int. J. Solids Struct. 50, 1253-1265, 2013] or available as preprints Hadjesfandiari and Dargush have reconsidered the linear indeterminate couple stress model. They are postulating a certain physically plausible split in the virtual work principle. Based on this postulate they claim that the second-order couple stress tensor must always be skew-symmetric. Since they use an incomplete set of boundary conditions in their virtual work principle their statement contains unrecoverable errors. This is shown by specifying their development to the isotropic case. However, their choice of constitutive parameters is mathematically possible and still yields a well-posed boundary value problem.

研究の動機と目的

• HadjesfandiariおよびDargushによる不確定モーメント応力モデルの最近の定式化で用いられた誤った境界条件を特定・是正すること。
• 高次勾配連続体力学におけるモーメント応力テンソルの対称性に関する長年の混乱を解消すること。
• 古典的不確定モーメント応力モデルに対する数学的に一貫性があり完全な応力境界条件のセットを確立すること。
• モーメント応力テンソルの反対称性を仮定することは物理的に必要ではなく、誤った境界条件の定式化に起因する誤謬であることを示すこと。
• 修正された境界条件のもとで、不確定モーメント応力モデルが対称なモーメント応力テンソルを許容しても適切に定式化され、数学的に整合的であることを検証すること。

提案手法

• HadjesfandiariおよびDargushが提案した物理的に妥当な仕切り方を用いて、仮想仕事の原理を再表現すること。
• 等方的線形不確定モーメント応力モデルの平衡方程式および物性方程式を、第一原理から再導出すること。
• 古典的応力境界条件とHadjesfandiariおよびDargushが用いた境界条件を比較することで、境界条件定式化における誤りを特定すること。
• モーメント応力テンソルが反対称であるという主張が、不完全な境界条件の使用に強く依存していることを示すこと。
• 群論的およびコンフォーマル不変性の議論を用いて、修正された定式化の妥当性を裏付けすること。
• 3つの物性パラメータを有する修正されたモーメント応力モデルが、修正された境界条件のもとで適切に定式化され、一貫性を保つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hadjesfandiari-Dargush定式化におけるモーメント応力テンソルの反対称性に関する主張が、厳密な境界条件解析においてなぜ失敗するのか？
• RQ2 古典的不確定モーメント応力モデルにおける正しい完全な応力境界条件は何か？
• RQ3 モーメント応力テンソルの球面部の不確定性は物理的矛盾であるのか、それとも数学的に許容可能な特徴であるのか？
• RQ4 モーメント応力テンソルが反対称でなくても、不確定モーメント応力モデルは適切に定式化され、一貫性を保てるか？
• RQ5 境界条件の選択が、高次勾配連続体力学におけるモーメント応力テンソルの対称性特性にどのように影響するか？

主な発見

• 不確定モーメント応力モデルにおいて2階モーメント応力テンソルが反対称でなければならないという主張は誤りであり、不完全で誤った境界条件に依存しているためである。
• 先行研究で用いられた古典的応力境界条件は数学的に不完全であり、定式化に一貫性の欠如をもたらす。
• 不確定モーメント応力モデルに対して、新たな完全で一貫性のある応力境界条件のセットが導出され、長年の曖昧さが解消された。
• モーメント応力テンソルの球面部の不確定性は欠陥ではなく、非圧縮性材料における圧力と同様の特徴であり、境界条件から回復可能である。
• モーメント応力テンソルが対称であっても、モデルは適切に定式化され、数学的に一貫性を保つ。反対称性の必要性は否定される。
• 3つの物性パラメータを有する修正されたモーメント応力モデルは、修正された境界条件フレームワークのもとで完全に一貫性を保ち、適切に定式化される。