[論文レビュー] On some probabilistic properties of periodic GARCH processes

Abdelouahab Bibi, Abdelhakim Aknouche|ArXiv.org|Sep 19, 2007

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、s 個の状態に周期的に入れ替わるボラティリティパラメータを有する周期的 GARCH (PGARCH) プロセスにおいて、厳密定常性および2次定常性、高次モーメントの存在、幾何的エルゴドリシティ、および β-混合性の十分条件を確立する。ベクトル自己回帰マルコフ型表現を用いて、定常性およびモーメントの存在を保証する取り扱いやすい固有値半径条件を導出し、標準的な GARCH 理論を金融時系列モデリングへの応用を踏まえた周期的ダイナミクスへと拡張する。

ABSTRACT

This paper examines some probabilistic properties of the class of periodic GARCH processes (PGARCH) which feature periodicity in conditional heteroskedasticity. In these models, the parameters are allowed to switch between different regimes, so that their structure shares many properties with periodic ARMA process (PARMA). We examine the strict and second order periodic stationarities, the existence of higher-order moments, the covariance structure, the geometric ergodicity and -mixing of the PGARCH(p,q) process under general and tractable assumptions. Some examples are proposed to illustrate the various concepts.

研究の動機と目的

• 周期的 GARCH (PGARCH) プロセスにおいて、状態遷移を伴うボラティリティを有する場合の厳密定常性および2次定常性の十分条件を確立すること。
• 一般的かつ取り扱いやすい仮定の下で、PGARCH モデルにおける高次モーメントの存在を調査すること。
• PGARCH(p,q) プロセスの共分散構造および幾何的エルゴドリシティを分析すること。
• 厳密定常 PGARCH 解が有限の高次モーメントを有し、指数的 β-混合性を示す条件を導出すること。
• 標準的な GARCH モデルの確率論的理論を周期的状態へと拡張し、数学的取り扱いやすさを保つこと。

提案手法

• 平方化されたイノベーションおよび条件付き分散に対して、ベクトル自己回帰マルコフ型表現を構築し、非線形 PGARCH モデルを線形状態空間形式に変換する。
• 状態ベクトルの時間発展を、ランダム係数を用いたクロネッカー積およびベクトル化行列を用いて表現する。
• 無限行列積の収束に依存して厳密定常性を保証するため、係数行列 A(0) の固有値半径条件を導出する。
• ノルムに基づくドリフト条件を用いて、リャプノフ関数技術を適用し、幾何的エルゴドリシティおよび指数的 β-混合性を証明する。
• モーメント生成関数のバインドとモーメント条件の下での再帰的モーメント方程式を用いて、モーメントの存在を分析する。
• 理論的結果は、異なるパrameter レジーム下での PGARCH プロセスの挙動を示すインスタレーション例を通じて検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter が s 個のレジーム間を周期的に切り替える場合、PGARCH プロセスが厳密定常性を示す条件は何か？
• RQ2 PGARCH(p,q) プロセスの2次定常性に必要な十分条件は何か？
• RQ3 高次モーメント（例：4次モーメント）が PGARCH モデルで存在するのはどのような場合か？また、それらは係数行列の固有値半径とどのように関係するか？
• RQ4 厳密定常 PGARCH プロセスにおいて、幾何的エルゴドリシティおよび指数的 β-混合性を保証する条件は何か？
• RQ5 モーメント条件の下で、PGARCH プロセスの共分散構造は、周期的自己回帰 (PAR) プロセスと比べてどのように異なるか？

主な発見

• PGARCH プロセスの厳密定常性は、すべての季節的レジームにわたる係数行列を集約した行列 A(0) の固有値半径が 1 より小さい場合に保証される。
• 2次定常性は、1周期間の係数行列の積の固有値半径が 1 より小さい場合に成立し、有限の分散を保証する。
• 高次モーメント（p 階まで）は、固有値半径条件が満たされ、イノベーションが十分なモーメントを持つ場合に存在し、リャプノフ関数を用いて明示的なバインドが導出される。
• 同じ固有値半径条件下で、PGARCH プロセスは幾分幾何的エルゴドリシティおよび指数的 β-混合性を示し、指数的減衰を伴う強い混合性を意味する。
• モーメント条件の下で、PGARCH プロセスの共分散構造は、周期的自己回帰 (PAR) プロセスと類似しており、PGARCH を線形周期的時系列モデルと結びつける。
• ベクトル自己回帰表現は、s=1 の場合に標準的な GARCH モデルの数学的取り扱いやすさを保ち、周期的ダイナミクスへの拡張を正当化する。