[論文レビュー] On some residual properties of Baumslag -- Solitar groups

Д. И. Молдаванский|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 Baumslag-Solitar 群 $G(m,n) = \langle a,b \mid a^{-1}b^m a = b^n \rangle$ の残留性に関する性質を調査し、有限群または有限 $\pi$-群の族 $\Phi$ に関する $\Phi$-残留性および共役 $\Phi$-分離可能性の基準を確立する。主な結果として、$G(1,n)$ は $n \equiv 1 \pmod{p}$ を満たす素数 $p$ であるときかつそのときに限り $\Phi$-残留であるが、$|n| \neq 1$ のときには共役 $\Phi$-分離可能でない。これに対して、$|n| = m$ を満たす $G(m,n)$ は、任意の $\pi$-群族に対して $\Phi$-残留かつ共役 $\Phi$-分離可能である。

ABSTRACT

A survey of results on the residual properties of Baumslag -- Solitar groups which have been obtained to date.

研究の動機と目的

• Baumslag-Solitar 群 $G(m,n)$ における残留有限性、共役分離可能性、部分群分離可能性に関する既知の結果を体系的に調査すること。
• $G(m,n)$ が残留有限、残留 $p$-群、または有限 $\pi$-群に関する共役分離可能である条件を明確にすること。
• 特に $G(1,n)$ および $|n| = m$ を満たす $G(m,n)$ について、$\Phi$-残留性と共役 $\Phi$-分離可能性の関係に関する未解決問題を解消すること。
• 特に、元の文献が入手困難であるか、証明が新たに簡略化された主要定理について、理解しやすい証明を提供すること。

提案手法

• $G(m,n)$ を $\langle b \rangle \cong \mathbb{Z}$ の拡張として、安定生成子 $a$ および関連部分群 $\langle b^m \rangle$, $\langle b^n \rangle$ を用いて HNN 拡張として表現すること。
• 残留性のテストのため、有限準同型像 $H_n(k,l) = \langle a,b \mid a^{-1}ba = b^n, a^k = b^l = 1 \rangle$ を構成すること。
• オイラーのトーティエント関数 $\varphi(l)$ を用いて、自己同型の位数が $k$ を割ることを保証し、有限 $p$-群商を可能にする。
• 共役上昇を、集合 $U = \{ n \in \mathbb{Z} \mid \exists x, x^{-1}gx = gc^n \}$ 及びその部分群 $V$ を用いて分析し、共役分離可能性を検討すること。
• 正規巡回部分群 $C = \langle c \rangle$ について $C^r$ を法とする共役問題を簡略化し、$V = m\mathbb{Z}$ および $r$ の選択により $k \in U$ を回避すること。
• $|n| = m$ を満たす $G(m,n)$ の構造を活用し、中心が非自明な一関係関係群に関する既知の結果を応用して部分群分離可能性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G(m,n)$ が残留有限（すなわち $\Cal{F}$-残留）である条件は何か？
• RQ2 素数 $p$ に対して、$G(m,n)$ が残留 $p$-群である条件は何か？ $m,n$ に関する必要十分条件は？
• RQ3 $\pi$ を素数の集合とするとき、$G(1,n)$ は共役 $\Cal{F}_\pi$-分離可能か？ また、$\Cal{F}_\pi$-残留性とはどのように関係するか？
• RQ4 $\Cal{F}_\pi$-残留性が $G(m,n)$ に対して共役 $\Cal{F}_\pi$-分離可能性を意味するか？ もしそうなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 $|n| = m$ のとき、$G(m,n)$ は部分群分離可能か？ これは構造的性質からどのように導かれるか？

主な発見

• $|n| \geq m > 0$ の条件下で、群 $G(m,n)$ は $\Cal{F}$-残留であるための必要十分条件は $m=1$ または $|n|=m$ である。
• 素数 $p$ に対して、$G(m,n)$ は $\Cal{F}_p$-残留であるための必要十分条件は、$m=1$ かつ $n \equiv 1 \pmod{p}$、または $|n| = m = p^r$ かつ $n = -m$ のとき $p=2$ である。
• $|n| \neq 1$ のとき、$G(1,n)$ はいくつかの二要素素数集合 $\pi$ に対して $\Cal{F}_\pi$-残留であるが、決して共役 $\Cal{F}_\pi$-分離可能でない。
• $|n| = m$ のとき、$G(m,n)$ は $\Cal{F}_\pi$-残留であれば、任意の素数集合 $\pi$ に対して共役 $\Cal{F}_\pi$-分離可能である。
• $|n| = m$ のとき、$G(m,n)$ は部分群分離可能であり、中心が非自明な一関係関係群に関する以前の結果を一般化する。
• $G(1,n)$ の巡回部分群 $\langle b \rangle$ は $\Cal{F}$-分離可能でない。これは、$b$ と $b^n$ が共役であることから、すべての有限指数正規部分群 $N$ に対して $g = aba^{-1} \in BN$ が成り立つためである。