[論文レビュー] On Spectral Theory for Schrödinger Operators with Strongly Singular Potentials

Fritz Gesztesy, Maxim Zinchenko|arXiv (Cornell University)|May 6, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 33被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、有限端点に強い特異性を示すポテンシャルを有する1次元シュレーディンガー作用素のスペクトル理論を展開し、この設定下でウェイル–ティッチャーマース係数がHerglotz性質を失うものの、スペクトル関数を導出するにあたりHerglotz関数の手法が依然として不可欠であることを示している。主な貢献は、強い特異性によって本質的に自己共役性が生じるため境界条件を必要としないような作用素に対して、スペクトル表現を確立したことにある。

ABSTRACT

We examine two kinds of spectral theoretic situations: First, we recall the case of self-adjoint half-line Schrödinger operators on $[a,\infty)$, $a\in\mathbb{R}$, with a regular finite end point $a$ and the case of Schrödinger operators on the real line with locally integrable potentials, which naturally lead to Herglotz functions and $2 imes 2$ matrix-valued Herglotz functions representing the associated Weyl-Titchmarsh coefficients. Second, we contrast this with the case of self-adjoint half-line Schrödinger operators on $(a,\infty)$ with a potential strongly singular at the end point $a$. We focus on situations where the potential is so singular that the associated maximally defined Schrödinger operator is self-adjoint (equivalently, the associated minimally defined Schrödinger operator is essentially self-adjoint) and hence no boundary condition is required at the finite end point $a$. For this case we show that the Weyl-Titchmarsh coefficient in this strongly singular context still determines the associated spectral function, but ceases to posses the Herglotz property. However, as will be shown, Herglotz function techniques continue to play a decisive role in the spectral theory for strongly singular Schrödinger operators.

研究の動機と目的

• 有限端点に強い特異性を示すポテンシャルを有する半直線上のシュレーディンガー作用素へのスペクトル理論の拡張を図ること。
• ポテンシャルが極めて特異であるため最小作用素が本質的に自己共役となる場合、境界条件を必要としない作用素のスペクトル的性質を調査すること。
• ウェイル–ティッチャーマース係数およびスペクトル関数が、正則な場合に見られる構造的性質（特にHerglotz性）を保っているかどうかを検証すること。
• 2通りの手法を比較すること：特異点を基準点とする（スカラーの場合）と、内部点を基準点とする（行列値の場合）。
• 明示的に解けるモデル $ V(x) = [ u^2 - 1/4]x^{-2} $, $ x > 0 $, $ u o u \neq 0 $ を詳細に分析し、理論を具体化すること。

提案手法

• 局所的可積分ポテンシャルを有する正則な半直線シュレーディンガー作用素および全直線作用素の標準的スペクトル理論を想起し、ウェイル–ティッチャーマース係数の表現におけるHerglotz関数の役割を強調すること。
• 有限端点 $ a $ における強い特異性の概念を導入し、$ V \notin L^1([a,b]) $（$ b > a $）であり、$ V $ が実数値かつ $ (a,\frown{\text{infty}}) $ 上で局所的可積分であると定義すること。
• 強い特異性のもとで、関連するシュレーディンガー作用素が最大作用素として自己共役（あるいは最小作用素として本質的に自己共役）であることを確立し、したがって $ a $ における境界条件は不要であることを示すこと。
• 強い特異性下でのウェイル–ティッチャーマース係数を分析し、Herglotz性質を失うが、修正された手法によりスペクトル表現が可能であることを示すこと。
• 2通りの基準点戦略を用いる：$ x_0 = a $（スカラー型ウェイル–ティッチャーマース関数）と $ x_0 \neq a $（行列値型ウェイル–ティッチャーマース関数）、これによりスペクトル関数を導出すること。
• ストーンの公式およびスペクトル測度再構成技術を用い、Herglotz性質が欠落している状況でも、リゾルベントからスペクトル関数を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルが有限端点で強く特異的であり、作用素が境界条件なしに本質的に自己共役となる場合、シュレーディンガー作用素のスペクトル理論はどのように変化するか？
• RQ2 ウェイル–ティッチャーマース係数がHerglotz性質を失うにもかかわらず、強力に特異なシュレーディンガー作用素のスペクトル解析において、Herglotz関数の手法がどの程度適用可能か？
• RQ3 Herglotz性質が欠落している状況下でも、リゾルベントからスペクトル関数を再構成できるか？ これは正則な場合の標準的Herglotz表現とどのように異なるか？
• RQ4 特異点が端点にある場合、ウェイル–ティッチャーマース関数を定義するにあたり、基準点 $ x_0 $ の選択が果たす役割は何か？
• RQ5 明示的に解けるモデル $ V(x) = [\nu^2 - 1/4]x^{-2} $, $ x > 0 $, において、一般理論が強力特異的状況でどのように具体化されるか？

主な発見

• 有限区間 $ [a,b] $ において $ V \notin L^1([a,b]) $ であるような $ (a,\frown{\text{infty}}) $ 上の強力特異的シュレーディンガー作用素に対して、ウェイル–ティッチャーマース係数はHerglotz関数ではないが、作用素は境界条件なしに自己共役である。
• Herglotz性質の喪失にもかかわらず、Herglotz関数の手法は、特にリゾルベントに基づくスペクトル測度を用いることで、スペクトル関数の導出に不可欠な役割を果たす。
• モデルポテンシャル $ V(x) = [\nu^2 - 1/4]x^{-2} $, $ x > 0 $, $ \nu \neq 0 $ に対して、リゾルベントおよびストーンの公式を用いてスペクトル関数が明示的に構成され、一般枠組みが裏付けられた。
• 基準点 $ x_0 $ が特異端点 $ a $ と一致する場合、ウェイル–ティッチャーマース係数はスカラー値であり、スペクトル関数は非Herglotz関数から導出される。
• 基準点 $ x_0 \neq a $ の場合、ウェイル–ティッチャーマース係数は $ 2\times 2 $ 行列値関数となり、スペクトル関数は行列値測度から導出されるが、関数自体はHerglotz行列ではない。
• 強力特異的状況に対応するスペクトル測度 $ d\tilde{\rho} $ は、$ \tilde{\rho}(\frown{\text{infty}}) = \tilde{\rho}(-\frown{\text{infty}}) = 0 $ を満たし、スペクトル関数は非退化的かつリゾルベントによって一意に定まる。