[논문 리뷰] On stabilizer-free weak Galerkin finite element methods on polytopal meshes

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 16.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다면체 메esh에서 두 번째 순서 타원 문제를 위한 안정화 항이 없는 약한 갈레르킨 유한요소법을 제안한다. 이 방법은 추가적인 안정화 항 없이도 고차 다항식을 사용하여 약한 기울기를 계산한다. 이 방법은 이산 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적 수렴률을 달성하며, 다항식 차수 $k \geq 1$에 대해 오차 추정치가 $O(h^{k+1})$임을 증명한다. 삼각형 및 다边형 메쉬에서의 수치 실험으로 검증되었다.

ABSTRACT

A stabilizing/penalty term is often used in finite element methods with discontinuous approximations to enforce connection of discontinuous functions across element boundaries. Removing stabilizers from discontinuous finite element methods will simplify the formulations and reduce programming complexity significantly. The goal of this paper is to introduce a stabilizer free weak Galerkin finite element method for second order elliptic equations on polytopal meshes in 2D or 3D. This new WG method keeps a simple symmetric positive definite form and can work on polygonal/polyheral meshes. Optimal order error estimates are established for the corresponding WG approximations in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented verifying the theorem.

연구 동기 및 목표

• 불연속 근사에 대한 수식을 단순화하기 위해 안정화 항을 제거하는 유한요소법을 개발하는 것.
• 일반적인 다면체 메쉬에서 강성 행렬의 대칭성과 양의 정부호성을 유지하는 것.
• 벌점 안정화 또는 벌점 항 없이도 이산 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적의 오차 수렴률을 달성하는 것.
• 삼각형 및 다각형 메쉬에서의 수치적 검증을 통해 방법의 강건성과 정확성을 입증하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 다항식 근사 차수 $k$를 갖는 내부 및 경계 근사로 구성된 약한 갈레르킨 유한요소 공간 $V_h$를 사용한다.
• 약한 기울기 $\nabla_w$는 다항식 차수 $j \geq k+1$를 갖는 고차 다항식을 사용하여 이산 변분적 의미에서 기울기를 계산한다.
• 이산 변분 형식은 $ (\nabla_w u_h, \nabla_w v) = (f, v) $로 표현되며, 원래 PDE의 약한 형식과 유사하다.
• 고차 다항식으로 구성된 약한 기울기 근사를 통해 일致성과 안정성을 확보함으로써 안정화 항을 회피한다.
• 오차를 측정하기 위해 이산 $H^1$-유사 노름 $|||\cdot|||$ 이 사용되며, 이는 내부 및 경계 점프를 통합한다.
• 오차 추정치를 유도하기 위해 쌍대성 원리와 정규성 가정을 사용하며, 리츠 프로젝션과 보간을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정화 항이 없는 약한 갈레르킨 방법이 다면체 메쉬에서 최적 수렴률을 달성할 수 있는가?
• RQ2 약한 기울기 계산에 고차 다항식을 사용함으로써 벌점 항이 필요 없어지며 안정성과 정확성이 유지되는가?
• RQ3 안정화 항이 없는 약한 갈레르킨 방법이 이산 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적 수렴률은 얼마인가?
• RQ4 표준 삼각형 요소와 비교해 일반적인 다각형 메쉬에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 주어진 요소 다항식 차수 $k$에 대해 최적 수렴률을 확보하기 위해 약한 기울기의 최소 다항식 차수는 얼마여야 하는가?

주요 결과

• 다항식 차수 $k \geq 1$에 대해 이산 $H^1$ 노름에서 최적의 $O(h^{k+1})$ 수렴률을 달성한다.
• 이론적 분석과 수치 실험으로 확인된 바, $L^2$ 노름에서도 최적의 $O(h^{k+1})$ 수렴률을 확보한다.
• 삼각형 및 다각형 메쉬에서의 수치 결과는 이론적 예측과 일치하는 수렴률을 보이며, $P_1$에 $P_2$ 약한 기울기를 사용할 경우 1.98–2.00, $P_2$에 $P_3$를 사용할 경우 2.99–3.00 등이다.
• 12변형 요소를 포함한 다각형 메쉬에서도 방법이 안정적이고 정확하게 유지되어 일반적인 다면체 요소에서의 강건성을 확인한다.
• 고차 약한 기울기($j = k+1$ 이상)의 사용은 수렴률에 영향을 주지 않으면서도 안정화 없이 수식을 구성할 수 있게 한다.
• 안정화 항이 없기 때문에 구현이 단순해지고 프로그래밍 복잡도가 감소하지만 최적의 정확도는 유지된다.