[論文レビュー] On standard finite difference discretizations of the elliptic Monge-Ampere equation

Gerard Awanou|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正則化と部分領域における内部離散化を用いて、楕円型モンジュ＝アンペール方程式に対する安定的で収束性を有する有限差分法を提案する。離散解がコンパクト集合上で正則化問題に一様収束することを証明し、時間進行法により滑らかな解に対してニュートン法を上回る性能を示し、非滑らかな解に対しても初期推定値の近さに依存しない強健な収束性を維持する（スケーリング後）。

ABSTRACT

Given an orthogonal lattice with mesh length h on a bounded convex domain, we propose to approximate the Aleksandrov solution of the Monge-Ampere equation by regularizing the data and discretizing the equation in a subdomain using the standard finite difference method. The Dirichlet data is used to approximate the solution in the remaining part of the domain. We prove the uniform convergence on compact subsets of the solution of the discrete problems to an approximate problem on the subdomain. The result explains the behavior of methods based on the standard finite difference method and designed to numerically converge to non-smooth solutions. We propose an algorithm which for smooth solutions appears faster than the popular Newton's method with a high accuracy for non smooth solutions. The convergence of the algorithm is independent of how close to the numerical solution the initial guess is, upon rescaling the equation and given a user's measure of the closeness of an initial guess.

研究の動機と目的

• 滑らかでない解を伴う楕円型モンジュ＝アンペール方程式に対する安定的で収束性を有する有限差分離散化を開発すること。
• 標準的な有限差分法がアレクサンドロフ解を近似する際の数値的挙動を説明すること。
• 方程式のスケーリング後に初期推定値の質に依存しない収束性を有する時間進行法を設計すること。
• 適合離散化とスケーリングを用いて滑らかな解の収束速度を確立すること。
• 正則化とメッシュの細分化を用いて所定の精度内での解の近似を可能とするフレームワークを提供すること。

提案手法

• 右辺 $ f $ と境界データ $ g $ を、一様収束する smooth な近似 $ f_m, g_m \in C^\infty(\overline{\Omega}) $ を用いて正則化する。
• 有限差分離散化を実行する内部部分領域 $ \widetilde{\Omega} \subset \Omega_s $ を定義する。ここで $ \Omega_s $ は $ \Omega $ に収束する一様強凸部分領域である。
• ヘッシアン $ D^2u $ を標準的な中心差分で離散化し、余因子行列と離散発散作用素を用いて離散モンジュ＝アンペール作用素を定義する。
• 離散方程式に基づく時間進行法を構築し、初期段階では中心差分スキームを用い、高精度を得るために適合離散化に切り替える。
• 反復法の収束を初期推定値の解への近さに依存させないために、方程式のスケーリングを適用する。
• 内部の2階微分係数の推定と行列の連続性の議論を用いて、離散解 $ u_{h} $ が $ \widetilde{\Omega} $ 上の正則化問題の解に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない解を伴う楕円型モンジュ＝アンペール方程式に対して、標準的な有限差分法をどのように安定的かつ収束可能にすることができるか？
• RQ2 離散解が領域のコンパクト部分集合上で正則化問題に一様収束するための条件は何か？
• RQ3 滑らかな解に対して、時間進行有限差分スキームはニュートン法を上回る収束速度を達成できるか？
• RQ4 反復法の収束は初期推定値に依存するか？もしそうならば、その依存性はどのように排除できるか？
• RQ5 滑らかな解に対する有限差分離散化の漸近的収束速度は何か？また、有限要素法と比較するとどうなるか？

主な発見

• 離散解 $ u_h $ は、コンパクト集合上で $ \widetilde{\Omega} $ 内で $ \det D^2\tilde{u} = f_{\tilde{m}} $ を満たす正則化問題の解 $ \tilde{u} $ に一様収束し、境界上では $ \tilde{u} = u_{\tilde{m}} $ が成り立つ。
• 滑らかな解に対して、時間進行有限差分法はニュートン法に比べて最大15倍速いことが示された。
• 方程式が適切にスケーリングされていれば、時間進行法の収束は初期推定値が解に近いかどうかに依存しない。
• 滑らかな解に対して、行列固有値の連続性とスケーリングを用いて、有限要素法と同等の漸近的収束速度が達成されることを証明した。
• 中心離散化の時間進行法を適合離散化の初期化に用いることで、非滑らかな解に対しても高精度が達成された。
• 離散解 $ u_h $ は離散的凸関数であり、離散問題の局所解の存在と一意性を保証する。