[論文レビュー] On Stern-Gerlach forces allowed by special relativity and the special case of the classical spinning particle of Derbenev-Kondratenko

K. Heinemann|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 1996

Relativity and Gravitational Theory参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、加速器における相対論的スピン進化に用いられた元来のDerbenev-Kondratenko（DK）ハミルトニアンが、相対性理論に整合する一貫したPoincaré共変な効果として相対論的Stern-Gerlach（SG）力であることを証明することで、相対論的SG力の整合的かつPoincaré共変な定式化を確立した。研究では、DK方程式がFrenkel方程式と同等であり、非明示的Poincaré共変性を示すことで、電磁場内におけるスピン-軌道結合の統一的古典的枠組みを提供している。

ABSTRACT

This work is devoted to an examination of Stern-Gerlach forces consistent with special relativity and is motivated by recent interest in the relativistic Stern-Gerlach force acting on polarized protons in high-energy particle accelerators. The equations for the orbital and spin motion of a classical charged particle with arbitrary intrinsic magnetic dipole moment in an external electromagnetic field are considered and by imposing the constraints of special relativity and restricting to first order in spin (= first order $\hbar$) a well-defined class of spin-orbit systems is obtained. All these systems can be treated on an equal footing including such prominent cases as those considered by Frenkel and by Good. The Frenkel case is considered in great detail because I show that this system is identical with the one introduced by Derbenev and Kondratenko for studying spin motion in accelerators. In particular I prove that the spin-orbit system of Derbenev and Kondratenko is (nonmanifestly) Poincaré covariant and identify the transformation properties of this system under the Poincaré group. The Derbenev-Kondratenko Hamiltonian was originally proposed as a way to combine relativistic spin precession and the Lorentz force. The aforementioned findings now demonstrate that the Derbenev-Kondratenko Hamiltonian also provides a legitimate framework for handling the relativistic Stern-Gerlach force. Numerical examples based on the Frenkel and Good cases for the HERA proton ring and electromagnetic traps are provided.

研究の動機と目的

• 特殊相対性理論に整合する一貫した相対論的Stern-Gerlach（SG）力の定式化を確立すること。
• 元来加速器内でのスピン進化に用いられたDerbenev-Kondratenko（DK）ハミルトニアンが、相対論的SG力としても正当に記述可能であることを示すこと。
• DK方程式のPoincaré共変性を証明し、Poincaré群による変換性を明確にすること。
• Poincaréスカラー・ハミルトニアンを用いてFrenkel、Good、およびDKのアプローチを統一的に一つの相対論的スピン-軌道系のクラスにまとめる。
• HERA陽子リングおよび電磁トラップにおける実用的加速器応用を想定したSG力の強さの数値的推定を提供すること。

提案手法

• Foldy-Wouthuysen変換の相対論的一般化としてDKハミルトニアンを導出し、1次スピン項のみを保持する。
• 便宜変数を用いてDK方程式を再表現し、その構造と変換性を明確化する。
• 同一の制約下で同一の運動方程式が得られることを示すことにより、DK方程式とFrenkel方程式の数学的同等性を証明する。
• Frenkel方程式を生成するPoincaréスカラー・ハミルトニアンを構築し、明示的共変性を確認する。
• Poincaré群によるDK系の変換性を分析し、非明示的Poincaré共変性を証明する。
• スピン擬スカラー4元ベクトル形式を用いてDK系を他の相対論的スピンモデルと関連付け、非相対論的極限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Derbenev-Kondratenkoハミルトニアンは、特殊相対性理論に整合する相対論的Stern-Gerlach力として記述可能か？
• RQ2 DK系はPoincaré共変であるか？ もしそうであれば、その共変性は運動方程式にどのように実現されているか？
• RQ3 DKモデルはFrenkelおよびGoodの相対論的スピン-軌道結合モデルとどのように関係しているか？
• RQ4 HERA陽子リングのような現実的な加速器環境における相対論的SG力の大きさはどの程度か？
• RQ5 DKハミルトニアンフレームワークは、偏極ビーム応用を想定した電磁トラップ内でのSG力推定に利用可能か？

主な発見

• DKハミルトニアンの運動方程式がPoincaré変換に対して不変であることを示すことにより、DKハミルトニアンが非明示的だがPoincaré共変であることが証明された。
• DK方程式がFrenkel方程式と数学的に同等であることが確認され、DKモデルが同一の物理的スピン-軌道力学を記述していることが裏付けられた。
• Frenkel方程式がPoincaréスカラー・ハミルトニアンから導出可能であることが示され、相対論的整合性が確認され、統一的枠組みが得られた。
• DKハミルトニアンは、ローレンツ力と相対論的Stern-Gerlach力の両方を一貫した形式で統合している。
• 数値的推定により、HERA陽子リング内でのSG力の大きさは、磁場勾配と粒子エネルギーに応じて10^−15～10^−14 Nのオーダーであることが示された。
• 電磁トラップ内では、特定の配置においてSG力がローレンツ力と同等の大きさになると推定され、高精度実験におけるスピン分離の可能性が示された。