[論文レビュー] On subgraphs of $C_{2k}$-free graphs and a problem of K\"uhn and Osthus

Dániel Grósz, Abhishek Methuku+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、 extremal graph theory における長年の問題を解決し、任意の C6-free グラフにおける bipartite かつ C4-free 部分グラフの最大辺割合が正確に 3/8 であることを証明している。著者らは、確率的ハイパーグラフ構成法と Erdős の定理の一般化を用いて、大きな高周期または C4-free の bipartite 部分グラフを含まない C2k-free グラフを構成した。

ABSTRACT

Let $c$ denote the largest constant such that every $C_{6}$-free graph $G$ contains a bipartite and $C_4$-free subgraph having $c$ fraction of edges of $G$. Gy\H{o}ri et al. showed that $\frac{3}{8} \le c \le \frac{2}{5}$. We prove that $c=\frac{3}{8}$. More generally, we show that for any $\varepsilon>0$, and any integer $k \ge 2$, there is a $C_{2k}$-free graph $G_1$ which does not contain a bipartite subgraph of girth greater than $2k$ with more than $\left(1-\frac{1}{2^{2k-2}} ight)\frac{2}{2k-1}(1+\varepsilon)$ fraction of the edges of $G_1$. There also exists a $C_{2k}$-free graph $G_2$ which does not contain a bipartite and $C_4$-free subgraph with more than $\left(1-\frac{1}{2^{k-1}} ight)\frac{1}{k-1}(1+\varepsilon)$ fraction of the edges of $G_2$. One of our proofs uses the following statement, which we prove using probabilistic ideas, generalizing a theorem of Erd\H{o}s: For any $\varepsilon>0$, and any integers $a$, $b$, $k \ge 2$, there exists an $a$-uniform hypergraph $H$ of girth greater than $k$ which does not contain any $b$-colorable subhypergraph with more than $\left(1-\frac{1}{b^{a-1}} ight)\left(1+\varepsilon ight)$ fraction of the hyperedges of $H$. We also prove further generalizations of this theorem. In addition, we give a new and very short proof of a result of K\"uhn and Osthus, which states that every bipartite $C_{2k}$-free graph $G$ contains a $C_{4}$-free subgraph with at least $1/(k-1)$ fraction of the edges of $G$. We also answer a question of K\"uhn and Osthus about $C_{2k}$-free graphs obtained by pasting together $C_{2l}$'s (with $k>l\ge3$).

研究の動機と目的

• C6-free グラフにおける bipartite かつ C4-free 部分グラフの最大辺割合が 3/8 であるという予想を解決すること。
• 高周期グラフにおける bipartite 部分グラフに関する Erdős の定理をハイパーグラフおよび固定彩色設定に一般化すること。
• girth >2k または bipartite かつ C4-free な部分グラフを含まない C2k-free グラフを構成し、タイトな上界を確立すること。
• Kühn と Osthus が得た C2k-free 二部グラフにおける C4-free 部分グラフに関する結果の、新たな短い証明を与えること。
• Kühn と Osthus が提起した、C2l-サイクル (k > l ≥3) を貼り合わせて得られる C2k-free グラフに関する疑問に答えること。

提案手法

• 高周期かつ大きな b-彩色可能な部分ハイパーグラフを含まない a-一様ハイパーグラフを確率的構成により生成する。
• Erdős の結果を一般化し、任意の ε > 0 に対して、girth >k かつ (1 − 1/b^{a−1})(1+ε) 未満のハイパーエッジ数をもつ b-彩色可能な部分ハイパーグラフを含まない a-一様ハイパーグラフが存在することを示す。
• 高周期ハイパーグラフのハイパーエッジを、固定された小さなグラフ（例：C6）に置き換えることで、制御された部分グラフ構造をもつ C2k-free グラフを構築する。
• 2色彩色とエッジ削除手順を適用し、C4 を除去しながらも多くのエッジを保持することで、3/8 の境界を証明する。
• ハイパーグラフの 2 シャドウとサイクル構造解析を用いて、構築されたグラフにおける C8-free 性を証明する。
• 線形性と頂点置換技術を活用し、エッジの一意性を保証するとともに、部分グラフ密度を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の C6-free グラフが、少なくとも c·e(G) の辺をもつ bipartite かつ C4-free 部分グラフを含むような最適定数 c は何か？
• RQ2 c に対する上界 2/5 を改善でき、3/8 がタイトであるか？
• RQ3 girth >2k または bipartite かつ C4-free な部分グラフを含まない C2k-free グラフは存在するか？
• RQ4 高周期グラフにおける bipartite 部分グラフに関する Erdős の定理を、固定彩色制約付きハイパーグラフに一般化できるか？
• RQ5 C2l-サイクルを貼り合わせて得られる C2k-free グラフにおける、bipartite かつ C4-free 部分グラフの最大辺密度は何か？

主な発見

• 本論文は、C6-free グラフにおける最適定数 c が正確に 3/8 であることを証明し、Győri, Kensell, および Tompkins による予想を解決した。
• 任意の ε > 0 および k ≥2 に対して、girth >2k かつその辺の (1 − 1/2^{2k−2}) · 2/(2k−1) · (1+ε) を超える辺数をもつ bipartite 部分グラフを含まない C2k-free グラフ G が存在する。
• girth >2k または C4-free な bipartite 部分グラフを含まない C2k-free グラフ G が存在し、その辺数は (1 − 1/2^{k−1}) · 1/(k−1) · (1+ε) を超えない。
• C6 を貼り合わせて得られる C8-free グラフを 2n 頂点上で構成し、平均次数が 6·n^{1/9} 以上となることを確認した。これは貼り合わせられた C2k-free グラフの構成結果を裏付けた。
• Kühn と Osthus の結果（任意の C2k-free 二部グラフは、少なくともその辺の 1/(k−1) をもつ C4-free 部分グラフを含む）の、新たな短い証明を与えた。
• Erdős の定理のハイパーグラフへの一般化を確立した：任意の ε > 0 に対して、girth >k であり、かつ b-彩色可能な部分ハイパーグラフのハイパーエッジ数が (1 − 1/b^{a−1})(1+ε) を超えない a-一様ハイパーグラフが存在する。